幾類平面微分系統(tǒng)的廣義中心、等時(shí)中心與極限環(huán)分枝.pdf

1、本篇博士論文以計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)為工具對(duì)幾類平面微分系統(tǒng)的極限環(huán)分枝、中心與廣義中心問(wèn)題、等時(shí)中心問(wèn)題進(jìn)行了一些研究，同時(shí)將已有理論應(yīng)用到生態(tài)系統(tǒng)中去研究一些生態(tài)模型的定性性質(zhì).全文共分七章. 第一章對(duì)平面多項(xiàng)式微分系統(tǒng)的極限環(huán)分枝、中心與等時(shí)中心以及定性與分枝理論在生態(tài)系統(tǒng)中的應(yīng)用等問(wèn)題的歷史背景和研究現(xiàn)狀進(jìn)行了綜述，并歸納了本文的特色工作. 第二章給出了一種尋找zn等變系統(tǒng)的簡(jiǎn)便方法，并對(duì)zn等變向量場(chǎng)中的微分系統(tǒng)的一些

2、性質(zhì)做了一些歸納總結(jié).同時(shí)，以一類Z8-等變對(duì)稱的七次系統(tǒng)為研究示例，在個(gè)人計(jì)算機(jī)上推導(dǎo)出八個(gè)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)相同的焦點(diǎn)中其中一個(gè)的前5個(gè)奇點(diǎn)量，進(jìn)而得出其前5階焦點(diǎn)量，并得出由八個(gè)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)相同的焦點(diǎn)共可在一定條件下分支出40個(gè)極限環(huán)的好的實(shí)例，同時(shí)找出了它的分枝條件及極限環(huán)穩(wěn)定性的判斷條件. 第三章主要是關(guān)于三次系統(tǒng)等變對(duì)稱結(jié)構(gòu)的分析和幾類具有等變對(duì)稱性的三次系統(tǒng)的極限環(huán)分支的研究，一種尋找等變對(duì)稱系統(tǒng)的方法被給出.并對(duì)未曾研究過(guò)的具

3、有不同等變對(duì)稱結(jié)構(gòu)的三次系統(tǒng)(即Z∞等變對(duì)稱的三次系統(tǒng)、Z3等變對(duì)稱的三次系統(tǒng)、Z4等變對(duì)稱的三次系統(tǒng))的定性與分支行為進(jìn)行了一一的研究.本章的工作是現(xiàn)有研究結(jié)論的有益的補(bǔ)充.(這一結(jié)論已經(jīng)提交給《湘潭大學(xué)學(xué)報(bào)》) 第四章主要研究了一類廣義對(duì)稱的平面九次微分自治系統(tǒng)的中心焦點(diǎn)問(wèn)題與極限環(huán)分枝行為.通過(guò)作Bendixson倒徑變換與時(shí)間變換，以及廣義焦點(diǎn)量的仔細(xì)計(jì)算，我們得出了該系統(tǒng)的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)與三個(gè)初等奇點(diǎn)能夠同時(shí)成為廣義中心的條

4、件，并進(jìn)行了嚴(yán)格的證明.同時(shí)我們得出在一定條件下，這四個(gè)廣義焦點(diǎn)能夠分枝出20個(gè)極限環(huán)的結(jié)果，其中包括5個(gè)大振幅極限環(huán)和15個(gè)小振幅極限環(huán).這種結(jié)論到目前為止是新的. 第五章研究一類廣義等變對(duì)稱的九次系統(tǒng)，通過(guò)周期常數(shù)(或稱為等時(shí)常數(shù))的計(jì)算與分析，找出了無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)與三個(gè)初等奇點(diǎn)同時(shí)成為等時(shí)中心(或稱為可線性化中心)的必要條件，進(jìn)一步證明了這些必要條件也是充分條件.無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)與幾個(gè)初等奇點(diǎn)同時(shí)成為等時(shí)中心的結(jié)論是第一次給出，在以往的

5、文獻(xiàn)中未有發(fā)現(xiàn)，我們的結(jié)論有一定意義. 第六章研究一類擬對(duì)稱七次系統(tǒng)的廣義中心、等時(shí)中心與極限環(huán)分枝問(wèn)題，得出了該系統(tǒng)的無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)與初等奇點(diǎn)同時(shí)成為廣義中心與等時(shí)中心的條件并進(jìn)行了嚴(yán)格的證明，進(jìn)一步給出該系統(tǒng)可以由無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)分枝出5個(gè)赤道環(huán)的同時(shí)還可以由初等奇點(diǎn)分枝出5個(gè)小振幅極限環(huán).這種結(jié)論是罕見的，本章的結(jié)論是新的. 第七章利用微分方程定性與分支理論研究了一類食餌具有常投放的稀疏效應(yīng)捕食系統(tǒng)，得到了存在唯一極限環(huán)和不存在