平面多項式微分自治系統(tǒng)的等時性與極限環(huán)分支.pdf

1、本篇博士論文主要研究平面多項式微分自治系統(tǒng)的等時性與極限環(huán)分支問題,全文由七章組成.
　　 第一章全面綜述了平面多項式微分自治系統(tǒng)的極限環(huán)分支、中心與可積性、等時中心與可線性化等問題的歷史背景和研究現(xiàn)狀,并簡單介紹了一下本文的特色工作.
　　 第二章研究了一類含兩個小參數(shù)和九個普通參數(shù)的七次多項式系統(tǒng)的高次奇點與無窮遠(yuǎn)點的中心條件與極限環(huán)分支問題.該系統(tǒng)的原點是高次奇點,赤道環(huán)上沒有實奇點.首先在個人計算機上用計算機代數(shù)

2、系統(tǒng)Mathematica推導(dǎo)出該系統(tǒng)高次奇點的前9個奇點量和無窮遠(yuǎn)點的前7個奇點量,然后討論了系統(tǒng)高次奇點和無窮遠(yuǎn)點的中心判據(jù).最后在高次奇點和無窮遠(yuǎn)點的同步擾動下,得到了這個系統(tǒng){(8),3}和{(3),6}的極限環(huán)分布.
　　 第三章研究了一類七次多項式系統(tǒng)高次奇點的中心、擬等時中心條件與極限環(huán)分支問題.首先通過同胚變換和復(fù)變換將系統(tǒng)的高次奇點化為復(fù)域中的初等原點,然后求出了新系統(tǒng)在原點的前45個奇點量,從而導(dǎo)出了高次奇點

3、為中心和最高階細(xì)焦點的條件.在此基礎(chǔ)上給出了七次系統(tǒng)在高次奇點分支出8個極限環(huán)的實例.最后通過一種新的算法求出高次奇點為中心時的周期常數(shù),得到了高次奇點為擬等時中心的必要條件,并利用一些有效途徑一一證明了這些條件的充分性.
　　 第四章研究了具有4:-m型與5:-m型有理共振奇點的Lotka-Volterra系統(tǒng)的可線性化問題.計算廣義周期常數(shù)是尋找具有有理共振比率系統(tǒng)可線性化條件的一種行之有效的方法.我們通過一種新的遞推算法來

4、尋找可線性化的必要條件,應(yīng)用此法無須事先解決系統(tǒng)的可積性問題.最后,我們通過各種方法證明了這些條件的充分性.
　　 在第五章中,我們研究多項式系統(tǒng)p:-q型共振奇點的可線性化問題.首先,我們通過一個同胚變換將奇點轉(zhuǎn)化為原點.進(jìn)一步地,我們推導(dǎo)出了計算所謂的廣義周期常數(shù)的遞推算法.此算法給出的是線性遞推公式,只需將系統(tǒng)右端系數(shù)作為符號進(jìn)行有限次的加、減、乘、除四則運算,避免了通常計算所需要的復(fù)雜積分和三角函數(shù)運算,從而比較容易在個

5、人計算機上實現(xiàn).最后,作為此算法的應(yīng)用,我們研究了一類七次多項式系統(tǒng)退化奇點的擬等時中心問題和4:-5型Lotka-Volterra系統(tǒng)的可線性化問題.
　　 在第六章中,我們研究了實甲面擬三次解析系統(tǒng)的等時中心問題.所采用的技巧是通過同胚變換把擬三次解析系統(tǒng)轉(zhuǎn)換為解析系統(tǒng)來處理.運用計算機代數(shù)系統(tǒng)Mathematica,我們計算了新系統(tǒng)原點的周期常數(shù)并且得到了其為等時中心的必要條件.最后,我們通過多種方法證明了這些條件的充分性