微積分方程的Legendre小波方法研究.pdf

1、小波分析在科學(xué)與工程計(jì)算中有重要作用,使得基于小波算法的微積分方程數(shù)值解法也得到廣泛的發(fā)展和應(yīng)用。在大多數(shù)實(shí)際問題中,所求解的問題都是定義在有限區(qū)間內(nèi),因此,區(qū)間小波引起了人們的重視。本文對(duì)微積分方程的區(qū)間小波方法進(jìn)行了研究,得到一系列結(jié)果。主要完成了以下的工作：
　　(1)給出了支撐區(qū)間為[0,1]的r重多分辨分析理論,并從該理論出發(fā)構(gòu)造出L2([0,1])上的Legendre多小波基函數(shù)。該小波具有正交性,對(duì)稱性,小支集性,以

2、及小波函數(shù)的可計(jì)算性,較其它的多項(xiàng)式小波來說,既簡(jiǎn)單又有較高的求解精度,所以更適合于科學(xué)計(jì)算的應(yīng)用需求。
　　(2)研究了拋物型偏微分方程的Legendre小波方法。對(duì)于偏微分方程,首先,對(duì)時(shí)間進(jìn)行差分離散,建立起關(guān)于空間變量的常微分方程,在對(duì)常微分方程的離散中,我們利用積分算子矩陣,對(duì)未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)進(jìn)行逼近,最后結(jié)合配點(diǎn)法得到方程的數(shù)值解。算法結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,克服了許多經(jīng)典方法中由于計(jì)算量大,收斂速度慢等造成的計(jì)算困難。
　　

3、(3)對(duì)拋物型偏微分方程的Legendre多小波方法進(jìn)行了研究。我們對(duì)一維非線性拋物型方程在尺度空間和小波空間中進(jìn)行離散,將其轉(zhuǎn)換為常微分方程,然后利用直接積分方法,將未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)用Legendre多小波基及其積分形式進(jìn)行表達(dá),最后結(jié)合配點(diǎn)法進(jìn)行求解。對(duì)于方程中的非線性項(xiàng),采用二階Taylor公式進(jìn)行逼近,計(jì)算精度較高。最后對(duì)Burgers方程進(jìn)行求解,實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明小波逼近比尺度函數(shù)逼近有較高的求解精度,同時(shí),多小波能將十分重要的正