積分方程和微分方程的幾種基于小波的新型數(shù)值解法.pdf

1、許多實際問題和大量的物理現(xiàn)象可以抽象為積分方程和偏微分方程，因此構(gòu)造這些方程的快速數(shù)值算法就有著重要的理論意義和實際應用價值，本文以小波為工具研究這些方程的數(shù)值算法，基于小波的數(shù)值求解積分(微分)方程的基本問題為：解的線性、非線性逼近；積分、微分算子的小波表示；解的穩(wěn)定性；解的收斂階的估計；自適應算法設計。本文以此為基礎提出了幾種解積分方程和偏微分方程的精細Legendre多小波方法，創(chuàng)新點包括：
　　 (1)深入研究了用Leg

2、endre多小波來表征Sobolev空間，得到了分別以范數(shù)L2和Hs的逼近誤差階的估計，這為用Legendre多小波方法估計積分、偏微分方程數(shù)值解的逼近誤差的階做理論準備。
　　 (2)導出了延拓的Legendre小波，并分析了此小波的結(jié)構(gòu)以及性質(zhì).構(gòu)造了延拓Legendre小波神經(jīng)網(wǎng)絡，此小波神經(jīng)網(wǎng)絡的優(yōu)點為：結(jié)構(gòu)簡單、高階的逼近精度、收斂速度快以及低的計算復雜性，并用來解決非線性函數(shù)的逼近問題。
　　 (3)提出了積

3、分算子的精細Legendre多小波非標準表示以及快速算法，此計算方式的優(yōu)點為：積分算子矩陣為稀疏的、低維的以及塊對角的。另外，非常有價值的地方是：不同子區(qū)間的積分算子矩陣是一樣的。這些性質(zhì)極大程度地降低了用小波表示積分算子的計算復雜性。
　　 (4)用已經(jīng)得到的Legendre小波神經(jīng)網(wǎng)絡和精細Legendre多小波方法有效地數(shù)值求解了Lane-Emden方程、Fredhlom方程.此方法的解決思路為：這些方程先被轉(zhuǎn)化為積分方程

4、，再用Legendre小波神經(jīng)網(wǎng)絡來逼近非線性函數(shù)，精細Legendre小波方法用來計算每個子區(qū)間[2-nl，2-n(l+1))上的積分算子、乘積算子以及整數(shù)冪算子，則積分方程就可轉(zhuǎn)化為線性代數(shù)方程。再解此線性代數(shù)方程組就可以得到在子區(qū)間[2-nl，2-n(l+1))上的數(shù)值解，綜合每個子區(qū)間的解就得到了方程的整個數(shù)值解。另外，還用精細Legendre小波方法解決了積分函數(shù)的最優(yōu)化問題。
　　 (5)通過用Legendre多小波

5、基函數(shù)代替弱變分形式的基，構(gòu)造了弱Legendre多小波變分形式，有效地解決了Wavelet-Galerkin方法處理偏微分方程的邊界條件以及計算連接系數(shù)的困難。這樣邊界條件以弱的方式加到了變分形式，而不必象變分形式那樣強加邊界條件，詳細計算了微分算子的精細Legendre多小波非標準表示，因為Legendre小波為分段多項式，故表示微分算子時計算的連接系數(shù)用到的是多項式的低階導數(shù)，這降低了計算復雜性。以Poisson方程為例構(gòu)造了弱L

6、egendre多小波變分形式，并導出了分別以范數(shù)L2和H1的數(shù)值逼近解的收斂階的估計?？傊?，構(gòu)造的弱Legendre多小波變分形式既有Wavelet-Galerkin方法的優(yōu)點又有弱Galerkin方法的長處。
　　 (6)用Legendre多小波的特點和混合有限元的優(yōu)勢，構(gòu)造了混合不連續(xù)Legendre-Wavelet-Galerkin(MDLWG)方法，此方法的優(yōu)點為：微分算子的有效稀疏表示、解滿足一致性、有高階的逼近精度以

7、及快速自適應算法。偏微分方程的邊界條件被以弱變分的方式加到數(shù)值流，此方式能容易地以低的計算復雜性逐元評價計算，得到的微分算子矩陣為塊對角的，故此方法可以降低解以小波系數(shù)為未知數(shù)的代數(shù)方程組的計算復雜性。此外，得到了帶Dirichlet邊界條件的橢圓偏微分方程的有效數(shù)值解，以及邊界條件的數(shù)值流計算的誤差估計的階為D(2-n(p-1))。數(shù)值實驗表明：這種方法是有效的。
　　 (7)以對流偏微分方程的本質(zhì)特點，用Legendre多小

8、波的性質(zhì)和不連續(xù)Galerkin方法的結(jié)構(gòu)特點，構(gòu)造了不連續(xù)Legendre-Wavelet-Galerkin(DLWG)方法解對流方程以及設計了快速自適應算法。此方法的思路為：用圖論的方法重新排列計算單元，再用精細Legendre多小波方法和不連續(xù)Galerkin方法的結(jié)構(gòu)特點，對流方程就可轉(zhuǎn)化為一系列的子代數(shù)方程的求解，這樣就可以不必解對流偏微分方程的整個代數(shù)方程組，而是以逐元逐元的方式求解。最重要的是：每個單元的計算時，涉及到的迎