四元數(shù)體上A型李代數(shù)的MAD子代數(shù)的共軛性.pdf

1、眾所周知,復(fù)數(shù)域上有限維單李代數(shù)分為An、Bn、Cn、Dn四類典型李代數(shù)和E6、E7、E8、F4、G2五個例外李代數(shù)。復(fù)半單李代數(shù)的結(jié)構(gòu)與表示均已有完整的結(jié)果。在復(fù)半單李代數(shù)的結(jié)構(gòu)理論中,Cartan子代數(shù)的共軛性定理起到至關(guān)重要的作用。作為復(fù)半單李代數(shù)的推廣,由于其在數(shù)學(xué)其他分支以及理論物理等其他學(xué)科中的重要應(yīng)用,仿射型Kac-Moody代數(shù)理論亦得到很好的發(fā)展。其中仿射型Kac-Moody代數(shù)的Cartan子代數(shù)的共軛性定理已于19

2、83年由Perterson和Kac得到[1]。作為有限維單李代數(shù)和仿射Kac-Moody代數(shù)的推廣,擴(kuò)張仿射李代數(shù)(Extended Affine Lie Algebra)的表示理論亦引起很多代數(shù)學(xué)家的興趣并得到很大發(fā)展。但擴(kuò)張仿射李代數(shù)Cartan子代數(shù)的共軛性問題,至今懸而未決。盡管擴(kuò)張仿射李代數(shù)可以通過量子環(huán)面Cq上的典型李代數(shù)得以實(shí)現(xiàn),但量子環(huán)面Cq是非交換的,而且其中大部分元素都沒有逆元,與復(fù)數(shù)域上的情形有著本質(zhì)的區(qū)別,至今量

3、子環(huán)面Cq上李代數(shù)Cartan子代數(shù)的共軛性問題也沒有任何進(jìn)展,即便是最簡單sl(2,Cq)也沒有人能夠證明。
　　 盡管如此,數(shù)學(xué)家們并沒有放棄努力。2007年,加拿大數(shù)學(xué)家StephenBerman和日本數(shù)學(xué)家Jun Morita對唯一分解整環(huán)上的典型李代數(shù)的Cartan子代數(shù)的共軛性進(jìn)行了證明[2]。雖然唯一分解整環(huán)中的元素未必有逆元,但它仍是一個交換代數(shù)。本文考慮四元數(shù)體H上的典型李代數(shù)。雖然四元數(shù)體H中的元素都存在逆元