一維及二維斜積映射的SRB測度.pdf

1、考慮C1斜積映射f:S1×[0，1]→S1×[0，1]，f(γ，s)：(3rmod 1，fγ(s))，令dr，de分別是s1，[0，1]上的勒貝格測度．則s1×[0，1]上的勒貝格測度Leb=dr× ds．記μ0是測度． 假設(shè)f滿足如下條件： ·令r∈S1，對(duì)每個(gè)s∈[0，1]，0<| Dfγ(s)|<3，fγ(0)=0，fγ(1)=1.這里Dfγ(s)是對(duì)s∈[0，1]的導(dǎo)數(shù)． ·λ0=∫S1log| Dfγ(

2、0)| dr<0；λ1=∫s1|Dfog | Dfγ(1)| dγ<0. ·顯然0，1-2是映射s1→s1，γ→H 3r mod 1的不動(dòng)點(diǎn)，則(0，0)，(0，1)，(1-2，0)，(1-2，1)是，的不動(dòng)點(diǎn)． ·假設(shè)fo，f1-2在(0，1)中不存在不動(dòng)點(diǎn)，并且(f0-id)|(0，1)<0；(f1-2-id)|(0，1)>0；Df0(0)(0)<1；Df1-2(1)<1. 則μ0和μ1是，所有的SRB測度．

3、并且滿足Leb(B(μ0)U B(μ1))=1，并且B=(μ0，1]，B(μ1)=S1×[0，1]． 這里B(μ0)和B(μ1)分別是μ0和μl的吸引盆． Kan對(duì)具體的C2函數(shù)，f(r，s)=(3r，s+cos(2開r)(s-32)(1-s))，證明了上述結(jié)論是成立的．Bonatti在晨興數(shù)學(xué)中心的講稿中證明了：如果上述函數(shù)是C2的，則結(jié)論也是成立的．我們這篇文章是對(duì)Bonatti的結(jié)論的擴(kuò)充． Bonatti