相對奇點(diǎn)范疇與廣義Serre對偶.pdf

1、這是一篇關(guān)于三角范疇及其應(yīng)用的博士論文，主要包含以下三個方面的內(nèi)容． 1．對于任意Abel范疇A及其任一自正交加法滿子范疇ω，本文第二章引入了相對奇點(diǎn)范疇D<,ω(A)的概念．這推廣了Orlov關(guān)于Noether環(huán)的奇點(diǎn)范疇的概念[93]．同時也引入了Frobenius正合范疇α(ω)，它是一4的滿子范疇且其相對投射-內(nèi)射對象的全體恰為ω的加法閉包．第二章的主要結(jié)果證明了自然函子αω)→D<,ω>(A)是三角范疇間的嵌入(fu

2、lly-faithful)函子；并在一定條件下，證明了該函子為范疇等價．利用該三角等價，我們可將相對奇點(diǎn)范疇刻畫為ω上的無界正合復(fù)形的同倫范疇． 將上述一般結(jié)論應(yīng)用到具體的奇點(diǎn)范疇上，我們得到： 1)．對于(非交換)Gorenstein環(huán)，其奇點(diǎn)范疇等價于其極大Cohen-Macaulay模形成的滿子范疇的穩(wěn)定范疇．這是Buchweitz未發(fā)表的定理[28]． 2)．對于具有有限Gorenstein維數(shù)的Gor

3、enstein范疇，其奇點(diǎn)范疇等價于穩(wěn)定范疇α(ω)，其中ω為任一函子有限(functorially-finite)的廣義傾斜子范疇．這推廣了Happel的一個定理[51]． 2．對于任意具有有限維態(tài)射空間的加法范疇C，我們引入了廣義Serre結(jié)構(gòu)(對偶)的概念：它是這樣的六元組(S，C<,r>，C<,l>，φ--，，(-，-)，Tr_)，其中C<,1>，C<,1>為C的兩個滿子范疇，S：C<,r>→C<,l>是范疇等價，稱為廣

4、義Serre函子，φ-。-，(-，-)和Tr_的定義參見第三章．這個六元組中的后三項(xiàng)是互相唯一確定的．對于Krull-schmidt預(yù)三角范疇C，第三章的主要結(jié)果證明了： 1)．C<,r>和C<,l>均為有厚度的三角子范疇； 2)．廣義Serre函子S是預(yù)三角范疇間的正合函子； 3)．設(shè)X∈C為不可分解對象．則X∈C<,r>(x ∈C<,l>)當(dāng)且僅當(dāng)以X為右端(左端)的Auslander-Reiten三角存在．

5、 注意到根據(jù)Reiten和Van den Bergh的著名結(jié)果[98]，Serre函子的存在性與C中Auslander-Reiten三角的存在性是等價的．而由上述結(jié)論，廣義Serre函子總是存在的，因此，特別地，上述結(jié)論推廣了Reiten和Van den Bergh的定理．對于有限維代數(shù)和某些非交換射影概型的有界導(dǎo)出范疇，第三章還顯式地計算出了2007年它們的廣義Serre結(jié)構(gòu)．作為兩個應(yīng)用，給出了有限維Gorenstein代