關(guān)于推廣的Catalan數(shù)與類Fibonacci數(shù)的若干研究.pdf

1、Catalan序列Cn=1/n+1(2nn)在組合數(shù)學中出現(xiàn)非常頻繁。人們已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了差不多100種結(jié)構(gòu)可以由這些數(shù)來計數(shù),并且新的能由Catalan數(shù)計數(shù)的組合結(jié)構(gòu)的發(fā)現(xiàn)也從未停止。另外,關(guān)于Catalan數(shù)的數(shù)字特征及性質(zhì)的研究也廣泛存在于文獻資料中。比如,它們之間的各種遞推關(guān)系,模關(guān)系以及因子等等。 在這篇論文緊接著介紹部分的頭兩章,我們將對推廣的Catalan數(shù)Ck,r(n)=r/kn+r(kn+rn)以及其向量形式的推廣

2、做一些研究。我們首先直接從Lagrange反演定理推導出一個Catalan數(shù)向量推廣形式滿足的卷積并給予應用。接著,我們給出一個染色k叉樹上的對合,并且從這個對合我們證明了一組符號交替變化的含有推廣的Catalan數(shù)及其向量推廣形式的恒等式。最后,根據(jù)得到的恒等式和Riordan陣列理論,我們重新提煉出k叉樹的計數(shù)公式和非常漂亮且重要的Gould-Vandermonde卷積公式Fibonacci序列Fn是滿足條件Fn=Fn-1+Fn-2

3、和F0=0,F1=1的序列,它是組合數(shù)學中另一個極為重要的序列。人們發(fā)現(xiàn)這些數(shù)和自然界有著密切的聯(lián)系。在本文最后一章,我們研究一組類Fibonacci序列Gn,它們滿足遞推關(guān)系:Gn=(d+2)Gn-1-Gn-2。注意當d=1和適當初始條件,我們分別得到Cn=F2n,n＞1和Gn=F2n+1,n＞0.對這一類序列及其相關(guān)性質(zhì),我們將用-類有序樹給出組合描述解釋。同時,我們還將給出與這類序列相關(guān)的組合結(jié)構(gòu)之間的雙射以及研究與其相關(guān)的其他序