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文檔簡介
1、解的凸性是偏微分方程和幾何分析研究中的一個重要課題,其主要研究方法分為宏觀方法和微觀方法.對于一般橢圓和拋物方程,我們自然地想研究其解的相關(guān)凸性,例如解的凸性和解的水平集的凸性.建立相應(yīng)的常秩定理則是微觀凸性方法的關(guān)鍵.然而,相對一般橢圓方程,其微觀凸性已經(jīng)有了系統(tǒng)的研究,本文則針對一般拋物方程解的微觀凸性給出系統(tǒng)的研究,利用強極值原理建立相應(yīng)的常秩定理,并且給出一些幾何和分析上的應(yīng)用.本文的主要結(jié)果列舉如下,
水平集的凸
2、性是很重要的一種凸性,我們考慮拋物方程的(空間)擬凹解的凸性,進(jìn)而得到其微觀凸性原理.
定理0.1.設(shè)u∈C3,1(Ω×[0,T])為如下拋物方程的空間擬凹解
(e)u/(e)t=F(▽2u,▽u,u,t)inΩ×(0,T],(1)并且存在某個常數(shù)γ0>0和c0>0,使得對任意(x,t)∈Ω×[0,T都有(▽2u(x,t),▽u(x,t),u(x,t))∈Λ×(R)n×(-γ0+c0,γ0+c0),▽u≠0.
3、若F滿足結(jié)構(gòu)條件
F(s2A,sθ,u,t)關(guān)于(A,s)是局部凹的.(2)其中(θ,u)∈(S)n-1×(R).若對任意c∈(-γ0+c0,γ0+c0)空間(上)水平集{x∈Ω|u(x,t)≥c}是連通、局部凸的.則對任意c∈(-γ0+c0,γ0+c0)水平集{x∈Ω|u(x,t)=c}的第二基本形式在Ω上的秩是常數(shù),進(jìn)一步,設(shè)t時刻水平集的第二基本形式在Ω上的極小秩為l(t),則對任意0<s≤t≤T有l(wèi)(s)≤l(t)
4、.
作為應(yīng)用,我們考慮凸環(huán)上的拋物方程的(空間)擬凹解,得到空間水平集的主曲率的下界估計如下
定理0.2.假設(shè)u∈C3,1(Ω×[0,T])是如下拋物方程的空間擬凹解,
{(e)u/(e)t=F(▽2u,▽u,u,t)inΩ×(0,T],u(x,0)=u0(x)inΩ,(3)u(x,t)=0on(e)Ω0×(0,T],u(X,t)=1on(e)Ω1×(0,T],其中u0滿足一定的相容性條件(見(
5、4.46)),▽u≠0,并且F滿足結(jié)構(gòu)條件
F(s2A,sθ,u,t)關(guān)于(A,s)是局部凹的.(4)其中(θ,u)∈(S)n-1×(R).則
κu(x,t)≥min{κ0,κ1e-A}eAu(x,t)(5)其中κu(x,t)的定義為(4.47),常數(shù)A依賴于||F||C2,n,λmin(x,t)∈Ω×[0,T]|▽u|,||u||C3.進(jìn)一步,若“=”在某點(x,t)成立,其中u(x,t)∈(0,1),則“
6、=”在Ω上恒成立,
時空凸性也是一種很有意思的凸性,我們得到關(guān)于時空凸解的微觀凸性原理如下
定理0.3.設(shè)Ω是(R)n中的一個區(qū)域,F(xiàn)=F(A,p,u,x,t)∈C2,1(Sn+×(R)n×(R)×Ω×(0,T]),u∈C2,1(Ω×(0,T])為拋物方程
(e)u/(e)t=F(D2u,Du,u,x,t),(x,t)∈Ω×(0,T],(6)的時空凸解,并且F滿足結(jié)構(gòu)條件
F(A-
7、1,p,u,x,t)關(guān)于(A,u,x,t)局部凸.(7)則對任意固定的時間t∈(0,T],時空Hessian矩陣∧D2u在Ω上保持常秩.進(jìn)一步,令l(t)為t時刻的時空Hessian矩陣∧D2u在Ω上的極小秩,則對任意0<s≤t≤T有l(wèi)(s)≤l(t).
特別地,如果時空凸解的空間Hessian矩陣是嚴(yán)格正定的,我們在更弱的結(jié)構(gòu)條件下得到如下常秩定理
定理0.4.設(shè)Ω為(R)n中一個鄰域,F(xiàn)=F(A,p,u,
8、x,t)∈C2,1(Sn+×(R)n×(R)×Ω×(0,T]),u為拋物方程
(e)u/(e)t=F(D2u,Du,u,x,t),(x,t)∈Ω×(0,T],(8)的時空凸解并且關(guān)于空間變量嚴(yán)格凸,即
D2u>0,∧D2u≥0,(V)(x,t)∈Ω×(0,T].(9)并且F滿足結(jié)構(gòu)條件
對任意常數(shù)c,{(A,u,x,t)∶F(A-1,p,u,x,t)≤c}是凸的.(10)若∧D2u在某點(x0,
9、t0)∈Ω×(0,T]達(dá)到極小秩n,則∧D2u在Ω×(0,t0]保持常秩n.
對平均曲率流,我們得到關(guān)于時空第二基本形式的常秩定理如下定理0.5.設(shè)M(t)∈Rn+1(t∈[0,T))為緊超曲面,并且為如下平均曲率流的解
Xt=-H→n(11)若M(t)是時空凸的,即時空第二基本形式
∧h=(hijHiHjHt)在M×[0,T)上半正定,則存在時間t0∈[0,T),使得M(t)在(0,t0]是嚴(yán)
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