凸體幾何極值問題.pdf

1、本文利用幾何分析中的凸體幾何理論，積分變換方法和解析不等式理論，研究了凸體的等周問題和相關(guān)的不等式問題.首先，從以下幾個方面作了重點研究：凸體的寬度積分和仿射表面積，凸體幾何經(jīng)典不等式的等價性，投影體和交體的各種極值性質(zhì)，星體的對偶均值積分的極值問題，混合投影體的極體性質(zhì)，投影體和交體的對偶均值積分差的極值問題以及混合投影體與混合交體神秘的對偶性質(zhì)等.其次，重點研究解析不等式，像離散型和連續(xù)型Pachpatte不等式，Hilbert積分

2、不等式，Holder積分不等式，Bellman不等式，Minkowski積分不等式等并應(yīng)用這些分析不等式建立了凸體幾何中經(jīng)典的Minkowski不等式，Brunn-Minkowski不等式和Aleksandrov-Fenchel不等式的極形式和對偶形式.這些內(nèi)容作為幾何分析一個十分活躍的前沿方向，廣泛應(yīng)用于數(shù)量經(jīng)濟學，隨機幾何學，體視學和信息理論等領(lǐng)域. 本文獲得的主要結(jié)果：(1)建立了混合投影體的極的Aleksandrov-F

3、enchel不等式，較完滿的解決了美國著名數(shù)學家Lutwak自80年代以來，一直關(guān)注的一個凸體幾何分析問題，實質(zhì)性地推廣了Lutwak關(guān)于混合投影體極的一些重要結(jié)果. (2)2004年，冷崗松教授在美國數(shù)學期刊Adv.Math.Appl.上，首次引進了凸體的均值積分差函數(shù)：若K，D∈Kn且D()K，則凸體K和D的均值積分差函數(shù)定義為： Dwi(K，D)=Wi(K)-Wi(D)，(0≤i≤n-1)，并且建立了凸體的均值積分

4、差的Minkowski不等式和Brunn-Minkowski不等式.類似地，我們定義了一個新的相關(guān)概念—星體的對偶均值積分和函數(shù)：若K，D∈ψn，則星體K和D的對偶均值積分和函數(shù)定義為： Swi(K，D)=Wi(K)+Wi(D)，(0≤i≤n-1)，若i=0，則有Sv(K，D)=V(K)+V(D)，被稱作星體K和D的對偶體積和函數(shù). 進一步，建立了混合交體的“對偶均值積分和”的Minkowski不等式.它正是混合交體的M

5、inkowski不等式經(jīng)典形式的推廣.另外，還獲得了混合交體的Brunn-Minkowski不等式的加強形式. (3)引進了凸體“均值積分差函數(shù)”的對偶概念—凸體和星體的“對偶均值積分差函數(shù)”：令K和D分別為Rn中的凸體與星體.若D()K，我們定義凸體K與星體D的對偶均值積分函數(shù)：Dwi(K，D)=Wi(K)-Wi(D)，0≤i≤n-1.從而，建立了凸體和星體的“對偶均值積分差”的Minkowski不等式和Brunn-Minko

6、wski不等式.作為方法的應(yīng)用，獲得了投影體和交體的“對偶均值積分差”的Minkowski不等式和Brunn-Minkowski不等式. Ⅱ(4)1993年，Lutwak在美國數(shù)學期刊Trans.Amer.Math.Soc.建立了混合投影體均值積分的Minkowski不等式，Brunn-Minkowski不等式和A~ksandrov-Fenchel不等式.我們獲得了這三個不等式的極形式. (5)凸體極徑Minkowski

7、和，星體極徑Blaschke和以及星體調(diào)和Blaschke線性組合的對偶Brunn-Minkowski不等式分別被Lutwak建立.本文給出了這三個不等式的加強形式. (6)驚奇地發(fā)現(xiàn)并論證了凸體幾何中下列幾對經(jīng)典不等式之間存在著等價性：Brunn-Minkowski不等式和Knesser-Siiss不等式，對偶Knesser-Siiss不等式和對偶Brunn-Minkowski不等式，F(xiàn)irey組合的Brunn-Minkows

8、ki不等式和p-均值積分的Minkowski不等式，調(diào)和p-組合的對偶Brunn-Minkowski不等式和p-對偶Minkowski不等式，仿射表面積的Brunn-Minkowski不等式和仿射表面積的Minkowski不等式. (7)利用Lutwak思想方法，創(chuàng)建了混合交體的Minkowski不等式，Brunn-Minkowski不等式和Aleksandrov-Fenchel不等式并證明了一些相關(guān)結(jié)果.從而，通過對比的方法揭