基于雙線性方法的孤子可積系統(tǒng).pdf

1、非線性發(fā)展方程精確解和可積性的研究有助于理解孤子理論的本質(zhì)屬性和代數(shù)結(jié)構(gòu)，而且對相應(yīng)自然現(xiàn)象的合理解釋及實際應(yīng)用將起到重要的作用. 本學(xué)位論文基于Hirota所提出的雙線性方法，深入、系統(tǒng)地研究了孤子可積系統(tǒng)的求解問題.揭示了雙線性結(jié)構(gòu)的代數(shù)特征；總結(jié)了Hirota雙線性方法的各種推廣及應(yīng)用；探討了Hirota雙線性方法與其它孤子方程求解方法之間的廣泛聯(lián)系以及與可積性的內(nèi)在關(guān)系；充分展示了Hirota雙線性方法是孤子方程求解的強(qiáng)

2、有力的工具.孤子方程存在形形色色的精確解以及多種精確解都可通過Hirota雙線性方法推得的事實反映了孤子理論的豐富性、多樣性、統(tǒng)一性特征.主要工作分為解的表示形式和多種精確解的推導(dǎo)兩大部分. 第一部分系統(tǒng)地總結(jié)了雙線性微分算子的性質(zhì)以及孤子方程的雙線性化工作.介紹解的Wronskian和Pfaffian表示形式，包括Grammian型解的表示形式；總結(jié)了Wronskian和Pfaffian的若干重要的性質(zhì)和關(guān)系式.分別從以下三個

3、方面展開研究： 對一些非等譜方程，主要是非等譜MKdV方程、具非均勻項的MKdV方程，分別利用Hirota雙線性方法和Wronskian技巧得到了它們多孤子解的表示形式. 指出Wronskian和Pfaffian解的驗證最終都化歸為Plücker關(guān)系式或Jacobi恒等式，雙線性結(jié)構(gòu)實際上就是Pfaffian恒等式. 給出了KP、BKP方程及其相應(yīng)Backlund變換Pfaffian解的表示形式.說明了通過Pfa

4、ffian化可導(dǎo)出其解仍具有Pfaffian形式新的可積方程的事實.第二部分研究非線性發(fā)展方程多種精確解的推導(dǎo). 對Hirota雙線性方法作了直接的推廣性發(fā)展，并具體地研究了兩類淺水波方程和Ito方程，獲得具有不同于經(jīng)典孤子解帶有奇異性的一類精確解，借助圖形還具體地對類2-孤子解之間的碰撞問題進(jìn)行了分析研究. 對帶參數(shù)的雙線性Backlund變換，經(jīng)適當(dāng)?shù)男拚傻玫搅硪恍问降腂acklund變換.利用經(jīng)修正后的雙線性Ba

5、cklund變換可求得孤子方程新的精確解.具體地求得了淺水波方程和5階KdV方程N(yùn)-孤子解新的表示形式以及新的精確解，對于5階KdV方程還得到了目前研究甚多的positon解和negaton解. 借助于雙線性Backlund變換，并對參數(shù)作適當(dāng)?shù)倪x取，我們得到了可導(dǎo)出KdV方程、Vakhnenko方程許多精確解的非線性疊加公式. 應(yīng)用雙線性Backlund變換，同樣地對其作合理的改造并選取適當(dāng)?shù)膮?shù)，從Boussines

6、q方程的2N-孤子解出發(fā)，通過取極限的方式我們得到了Boussinesq方程的N-類孤子解的一般表示形式. 從雙線性Backlund變換出發(fā)可以具體產(chǎn)生與原方程結(jié)構(gòu)上相類似的、新的可積方程，我們將這一方法運用于非等譜KdV方程，導(dǎo)出了非等譜MKdV方程. 闡述孤子方程Wronskian解與廣義Wronskian解之間的聯(lián)系，并以KdV方程為例具體說明了各種精確解都可統(tǒng)一在Wronskian結(jié)構(gòu)下，通過適當(dāng)?shù)厝〔煌问降臉O