行列式的計算與技巧--畢業(yè)論文

1、<p>　　江西師范大學數學與信息科學學院學士學位論文</p><p><b>　　行列式的計算與技巧</b></p><p>　　The calculation of determinant and the skill </p><p>　　姓 名： * ***

2、</p><p>　　學 號： 090*0*0**2 </p><p>　　學 院：數學與信息科學學院 </p><p>　　專 業(yè)：數學與應用數學 </p><p>

3、;　　指導老師：*** (講師 ) </p><p>　　完成時間： 2013-3-11 </p><p><b>　　行列式的計算與技巧</b></p><p><b>　　***</b></p><p>　　【摘要】行列式是

4、代數的一個重要的內容，也是討論線性方程組的一個非常有力的工具,在數學的許多分支上有著極其廣泛的應用。同時，行列式的計算非常的靈活多變，有很強的技巧和規(guī)律性。本文則主要討論行列式的一些常用的方法，并堅持從實例出發(fā)，在以上幾種常用方法的基礎上，探討并給出行列式的其他幾種計算方法 。如：三角形法、升階法、數學歸納法、遞推法、提取因子法、范德蒙行列式法、拆行法等等，通過以上這些方法基本可以解決一般的n階行列式的計算問題。</p>

5、<p>　　【關鍵詞】 行列式 遞推法 范德蒙行列式 降階法</p><p>　　The calculation of determinant and the skill </p><p><b>　　******</b></p><p>　　【Abstract】Determinant is an import

6、ant content of algebra, and discuss the system of linear equations is a very powerful tool, many branches of mathematics has the extremely widespread application. At the same time, the determinant calculation is very fle

7、xible, strong skills and regularity. This article mainly discuss some commonly used methods of the determinant, and proceed from the instance and on the basis of the above several kinds of commonly used method, and gives

8、 several calculation metho</p><p>　　【Key words】：The determinant, Recursive method, Vandermonde determinant， Order reduction method </p><p><b>　　目錄</b></p><p>　　1 引言………

9、…………………………………………………………………………………1</p><p>　　2行列式的定義…………………………………………………………………………1</p><p>　　2.1 用定義法計算行列式…………………………………………………………1</p><p>　　3 行列式的相關性質……………………………………………………………………3</p>

10、;<p>　　3.1利用相關性質得到幾種特殊解法…………………………………………………3</p><p>　　3.1.1對角線法則計算行列式……………………………………………………3</p><p>　　3.1.2 三角形法計算行列式……………………………………………………3</p><p>　　3.1.2.1箭形(或爪形)行列式…………………………

11、………………………4</p><p>　　3.1.3加邊法（升階法）計算行列式………………………………………………5</p><p>　　3.1.4 分解行列法(又稱拆項法)計算行列式……………………………………6</p><p>　　3.1.5降階法計算行列式……………………………………………………7</p><p>　　4 遞推法計算行

12、列式…………………………………………………………………9</p><p>　　5 特征值法計算行列式…………………………………………………………………10</p><p>　　6 數學歸納法計算行列式…………………………………………………………………10</p><p>　　7 提取因子法計算行列式…………………………………………………………………11<

13、/p><p>　　8 利用范德蒙行列式計算行列式………………………………………………………12</p><p>　　9 利用拉普拉斯展開定理計算行列式…………………………………………………14</p><p>　　10 因式分解法計算行列式………………………………………………………………15</p><p>　　11 乘法定理法（行列式乘積法

14、）計算行列式…………………………………………16</p><p>　　12 小結…………………………………………………………………………………………17</p><p>　　參考文獻………………………………………………………………………………………18</p><p><b>　　1 引言</b></p><p>　　行

15、列式是一個基本的數學工具，是線性代數的重要研究對象，無論是在高精尖端科學領域，還是在日常工業(yè)生產、工程施工或經濟管理中都有著廣泛的應用。因此，高等數學把行列式列為基本而重要的內容之一，并把行列式的計算作為線性代數的教學重點，可能由于一些學生數學基礎不夠扎實，加之行列式的類型又很多，學習中有一定的難度。本文主要從行列式的的定義和性質入手，以具體實例為依據，對行列式的各種計算方法如定義法、化三角形法、拆行（列）法、降階法、升階法（加邊法）進

16、行總結、歸納和比較，得出怎樣特征的行列式最適合怎樣的方法來，以達到最簡單的計算</p><p><b>　　2 行列式的定義：</b></p><p>　　n階行列式：設有個數，排成n行n列的數表</p><p><b>　　= </b></p><p>　　做出表中位于不同行不同列的

17、n個數的乘積，并冠以符號得到形如的項，其中為自然數1,2,…,n 的一個排列，t為這個排列的逆序數，由于這樣的排列共有 n!個，所有這n!項的代數和∑ 稱為n 階行列式</p><p><b>　　2.1 定義法</b></p><p>　　n 階行列式的定義展開式中包含n！項，n=5時，已經包含120項。所以利用行列式定義進行運算基本不現實。只有一種情況考慮利用定義

18、算行列式，就是行列式中0比較多，這樣可以大大減少行列式展開的項數。．</p><p>　　例 2.11 計算 n 級行列式</p><p><b>　　D =</b></p><p>　　解： </p>

19、<p>　　例2.12 計算n階行列式=</p><p><b>　　解：利用行列式定義</b></p><p>　　= ， 其中t為排列的逆序數，故t=0+1+2+=所以=</p><p>　　例2.13 計算n階行列式</p><p>　　解：按行列式的定義，行列式展開后每一項都是n個元素相乘，且這n

20、個元素要位于中不同的行與不同的列，因此只有一個非零項，這一項列標為自然順序，行標排成的排列n,1,2,3,…故=n!</p><p>　　3 行列式計算的相關性質</p><p>　　性質1.矩陣的行列式與其轉置矩陣的行列式相等。</p><p>　　行列式定義中可以按第一列可展開計算,當然,行列式也可按第一行展開。</p><p>　　性質

21、2.交換行列式的兩行,等于以(-1)乘行列式。</p><p>　　性質3.若行列式有兩行(列)相同,則行列式等于0。</p><p>　　性質4.以乘行列式的一行,等于乘行列式。</p><p>　　推論1.若行列式某行元素都是0,則行列式等于0。</p><p>　　性質5.行列式具有分行相加性。</p><p>

22、　　性質6.把的一行的若干倍加到另一行,行列式值不變。</p><p>　　由性質4和性質3又可得到:</p><p>　　推論2.若一個行列式的任兩行成比例,則行列式值為0。</p><p>　　3.1 利用相關性質得到幾種特殊解法</p><p>　　3.11 對角線法則</p><p>　　此法則適用于計算低階行

23、列式的值：如二階和三階行列式。具體方法：按照對角線法則展開</p><p><b>　　例 3.111</b></p><p>　　=- 1×3- (- 2)×2=1（主對角線上的元素為-1和3，輔對角線上的元素為-2和2）</p><p><b>　　例3.112</b></p><

24、;p>　　=0×0×0+b×2c×a+3b×c×(-a)-0×(-a)×a-2c×c×0</p><p>　　-3b×b×0=-abc</p><p><b>　　3.12 三角形法</b></p><p>　　這是計算

25、行列式的一種基本方法。它是把一個行列式通過行列式的性質,設法把它們化為三角形行列式,然后利用三角行列式求其值。</p><p>　　例3.121計算行列式</p><p>　　解：注意到行列式各行(列)的元素之和相等，都為</p><p>　　行列式從最后一行開始，依次加到第一行：</p><p><b>　　=</b>

26、</p><p>　　3.1.2.1 箭形(或爪形)行列式</p><p><b>　　例3.11</b></p><p>　　結論：對于形如 、 、 、所謂箭形(或爪形)行列式,可以直接利用行列式的性質化為三角或次三角形行列式來計算。</p><p>　　3.13 加邊法（升階法）</p>

27、<p>　　要求：1） 保持原行列式的值不變；</p><p>　　2） 新行列式的值容易計算根據需要以及特點選取所加的行和列，加邊法除了適用于某一行（列）有一個相同的字母外，也可用于其列（列）的元素分別為 n-1 個元素的倍數的情況。</p><p><b>　　例3.131</b></p><p>　　3.14 分解行列法(又

28、稱拆項法)</p><p>　　拆分法就是根據行列式的性質把行列式拆成兩個或若干個行列式的和，而拆出來的行列式可以利用已知的方法去求解。</p><p>　　例 3.141 計算 n 階行列式</p><p>　?。寒攏=2時，=。當n≥3時，=0</p><p><b>　　例3.142</b></p>

29、<p>　　3.15 降階法計算行列式 </p><p>　　降階法是通過利用行列式的相關性質降低行列式的階數后計算，典型步驟如下：</p><p>　　利用行（列）初等變換：1）交換兩行；2)某行（列）乘以K倍；3）某行（列）的K倍加到另一行（列）上去。</p><p>　　看行和，如果行（列）和相等，則均可以加到某一列（行），然后提取出一個數。

30、</p><p>　　逐行（列）相加（減）</p><p>　　找遞推公式，同時注意對稱性。</p><p>　　按拉普拉斯定理展開。</p><p>　　一個復雜的行列式往往是以上步驟的聯合使用。</p><p>　　例3.151計算行列式</p><p>　　例3.152計算行列式</

31、p><p>　　例3.153計算行列式</p><p>　　4 遞推法計算行列式</p><p>　　遞推法是應用行列式的性質，把一個n階行列式表示為具有相同結構的較低階行列式（比如，n-1階或n-1階與n-2階等）的線性關系式子，這種關系式稱為遞推關系式。根據遞推關系式及某個低階行列式（比如二階或一階行列式）的值，便可遞推求得所給n階行列式的值，這種計算行列式的方法我

32、們稱之為遞推法。一般三對角行列式的計算就是利用遞推法計算的</p><p><b>　　例4.1</b></p><p>　　證明：將 按第 1 列展開得</p><p>　　由此的遞推公式利用此遞推公式可得</p><p>　　例4.2計算n階行列式</p><p><b>　　解：&

33、lt;/b></p><p><b>　?。?）</b></p><p>　　由于和對稱性，不難得到 （2）</p><p>　　聯立(l),(2)解之,得</p><p><b>　　5 特征值法</b></p><p>　　設是 n 級矩陣 A 的全部特征值，則有

34、公式，。故只要能求出矩陣 A 的全部特征值，那么就可計算出 A 的行列式</p><p><b>　　例5.1</b></p><p>　　如果是n級矩陣A的全部特征值，證明: A可逆的當且僅當它的特征值全不為零。證明：因為，則A是可逆的</p><p>　　例5.2已知I-A的特征根之模長均小于1，求證0< < </p>

35、;<p>　　證明：首先A沒有零特征根，否則存在可逆矩陣P,使得</p><p>　　6 數學歸納法計算行列式</p><p>　　數學歸納法多用于證明題．用數學歸納法計算 n階行列式，需要對同結構的低階行列式進行計算，從中發(fā)現規(guī)律并得出一般性結論，然后再用歸納法證明其正確性,利用數學歸納法進行行列式計算主要是利用不完全歸納法尋找行列式的猜想值，再進行驗證．</p>

36、;<p>　　例 6.1計算 2n 階行列式</p><p>　　于是，我們可以猜想是不是有這樣一種關系存在，即然后用歸納法證明如下：</p><p><b>　　當時，顯然成立。</b></p><p><b>　　假設當時成立，即</b></p><p><b>　　當時

37、，將</b></p><p>　　由歸納假設可得猜想成立，即</p><p><b>　　例6.2計算行列式</b></p><p>　　解：由于因而猜想現在用現在用第二數學歸納法來證明。當 n = 1 時結論成立。歸納假設結論對都成立，再證明 n 時對于 按照最后一行展開得：</p><p>　　7 提取因

38、子法計算行列式 </p><p>　　若行列式滿足下列條件之一,則可應用該方法:</p><p>　　(1)有一行(列)元素相同,稱為“a,a,a,·,a型”;</p><p>　　(2)有兩行(列)的對應元素之和或差相等,稱為“鄰和型”;</p><p>　　(3)各行(列)元素之和相等,稱為“全和型”.滿足條件(1)的行列式可

39、直接提取公因式a,變?yōu)椤?,1,…,1型”,進而化為“1,0,…0型”,于是應用按行(列)展開定理,使行列式降‘階.滿足條件(2)和(3)的行列式都可根據行列式的性質變?yōu)闈M足條件(1)的行列式,間接使用提取公因式法.</p><p>　　例7.1計算行列式：</p><p>　　解：按該行列式的各行元素之和都等于屬于“全和型”，所以 例7．2計算行列式</p><

40、p><b>　　A=</b></p><p>　　解: 從觀察看出行列式每一行的和相同，因此將第二、第三、第四列都加到第一列上去便可以提出一個因子（x+y+z）。又將第二行乘以1，第三、第四行乘以 - 1 都加到第一行上，便可提出公因子（x- y- z）。類似地有因子（x- y+z），（x+y-z）。因此，行列式A的值為 為了決定 k 的值，可令x=1,y=z=0 代 入，求 出 k=

41、1，因此</p><p>　　8 利用范德蒙行列式計算行列式</p><p>　　德蒙行列式是一類比較特殊的行列式，利用范德蒙行列式公式來計算某些行列式時，要求行列式必須有范德蒙行列式的特點，或者類似于范德蒙行列式的特點，這樣便可以將所給的行列式化為范德蒙行列式，然后再借用公式計算出結果。</p><p>　　范德蒙行列式的結構特點：行列式中第1行的元素全為1，第2

42、行元素是n個數，第3行元素是這n個數的平方，…，第n行元素是這n個數的（n-1）次方</p><p><b>　　例8.1計算行列式</b></p><p>　　解：因為，可以在可在第一行提出，第二行提出 ，第三行提出 ，第四行提出，則</p><p>　　例8.2計算n階范德蒙行列式</p><p>　　解：雖然它不是

43、范德蒙行列式，但是我們通過對范德蒙行列式的學習可以自己構造N+1階范德蒙行列式來間接的求出其值。構造n=1階范德蒙行列式，得到</p><p>　　將按第n+1列展開得</p><p><b>　　其中，的系數為</b></p><p>　　又根據范德蒙行列式的結果知</p><p>　　由上式渴求的的系數為</p

44、><p><b>　　，故有</b></p><p>　　結論:當所求的行列式與范德蒙行列式類似時,可通過添加一些行(或列)或拆分某些行(或列)達到可以利用范德蒙行列式來計算的目的</p><p>　　9 利用拉普拉斯展開定理計算行列式</p><p>　　拉普拉斯展開定理是行列式按一行或一列展開定理的推廣．在應用拉普拉斯定

45、理時，為了計算上的方便，一般先利用行列式的性質對原行列式進行變形，再按含零多的 k 行或 k 列展開．</p><p>　　例 9.1 計算行列式</p><p>　　解：觀察可以發(fā)現如果從第 3 行開始每一行都減去第 2 行，再從第 3 列開始每一列都加到第 2 列，可使行列式中更多的元素為零．則按變換得</p><p>　　再由拉普拉斯定理可得</p>

46、;<p><b>　　例9.2計算行列式</b></p><p>　　解：利用拉普拉斯展開定理按第1列和第2n列展開得</p><p>　　對于2（n-1）階行列式按類似方法可得</p><p><b>　　依次類推，得</b></p><p>　　10 因式分解法計算行列式</

47、p><p>　　所謂因式分解法，是當行列式D=0時，求出方程的根，然后利用因式分解的思想，將行列式轉化為各因子的乘積的形式，再進一步求解，這樣能大大減少計算量。該方法主要運用于主對角線上含有x多項式的題型。</p><p>　　解：根據行列式的定義法，我們知道此行列式展開應該為x的四次多項式，分析：當x=±1，±2時，顯然D=0，所以假設其中，A為待定常數當x=0時，計算出

48、D=-12又根據上面的假設的結果</p><p><b>　　從而A=-3</b></p><p><b>　　∴ </b></p><p>　　例 10.1 計算行列式</p><p>　　解: 注意 x =1 時 所以，同理 x －2，…，x － ( n －1) 均為的因式又 x － i 與

49、x － j( i≠j) 各不相同，所以，但的展開式中最高次項的系數為1。所以</p><p>　　11 乘法定理法行列式乘積法</p><p>　　在行列式中，如果每個元素都可分解為乘積之和的形式，那么該行列式就可轉化為兩個矩陣乘積的行列式，只要分解的這兩個矩陣的行列式比較容易計算，則可由公式計算出原行列式的值</p><p>　　例 11.1 求下列行列式<

50、/p><p>　　例11.2 計算行列式</p><p><b>　　解：同上題可得</b></p><p><b>　　所以當n>2, </b></p><p><b>　　n=2時,， </b></p><p><b>　　n=1時，&

51、lt;/b></p><p><b>　　小結：</b></p><p>　　通過以上對行列式的計算方法的一一列舉,我們知道關于行列式不同的題目可能會用到不同的計算方法,至于采用哪種方法計算則要視具體的題目而定.但是即使同樣的題目有時卻可以用不同的方法來計算。總之，行列式的計算方法具有多樣性以及靈活性，在計算行列式時，我們應當針對具體問題，把握行列式的特點，靈活

52、選用適當的方法來進行計算。計算行列式總的原則是：充分利用所求行列式的特點、行列式的性質及上述常用的方法來進行計算。有時可以用上面介紹的其中一種方法求出行列式的值，有時可以綜合運用多種方法更簡便的求出行列式的值，然而一般需要用到兩種或兩種以上的技巧才能解決.總之，大家在今后的學習中要多練習，多總結，以便能更好地掌握行列式的計算方法</p><p><b>　　參考文獻：</b></p&g

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