3.2連續(xù)型隨機變量

1、3.2 連續(xù)型隨機變量,一、連續(xù)型隨機變量及其概率密度函數 定義：設R.V. 的d.f為 ，如果存在非負函數 ，使得那么稱 為一連續(xù)型R.V.， 稱為R.V. 的概率密度函數，簡稱密度函數。,這兩條性質是判定一個函數 P(x)是否為某r.vX的概率密度函數的充要條件.,,故 的密度 P(x) 在 x 這一點的值，恰好是落在區(qū)間 上的概率與區(qū)間長度

2、 之比的極限. 這里，如果把概率理解為質量，則 P(x)相當于線密度.,3. 對 P(x)的進一步理解:,要注意的是，密度函數 P(x)在某點a處的高度，并不反映 取值的概率.但是，這個高度越大，則 取a附近的值的概率就越大。也可以說，在某點密度曲線的高度反映了概率集中在該點附近的程度。,連續(xù)型r.v取任一指定值的概率為0。,,,,即：,a為任一指定值,這是因為,需要指出的是:,,,,由此得，,1) 對連續(xù)型 r.v

3、. ,有,2) 由P( =a)=0可推知,而 { =a} 并非不可能事件,并非必然事件,稱A為幾乎不可能事件，B為幾乎必然事件。,可見，,由P(A)=0, 不能推出,由P(B )=1, 不能推出B=S,【例1】設R.V. 具有密度函數 試求（1）常數C （2） 的d.f.F（x） （3）P(0≤ ≤1）,【解】,【例2】設R.V. 的d.f為求常數及R.V. 的p.

4、d.f。,【解】,二、幾種常見的連續(xù)型分布,它的實際背景是:r.v X取值在區(qū)間(a,b)上，并且取值在(a, b)中任意小區(qū)間內的概率與這個小區(qū)間的長度成正比.則X具有(a,b)上的均勻分布。,1.均勻分布,2.正態(tài)分布,若 的密度函數為,則稱 服從參數為 ? , ? 2 的正態(tài)分布,記作 ～ N ( ? , ? 2 ),為常數，,p (x) 的性質：,圖形關于直線 x = ? 對稱： f (? + x) = f (? - x

5、),在 x = ? 時, p(x) 取得最大值,在 x = ?±? 時, 曲線 y = p (x) 在對應的點處有拐點,曲線 y = p(x) 以x軸為漸近線,曲線 y = p(x) 的圖形呈單峰狀,,,p(x) 的兩個參數：,? — 位置參數,即固定 ? , 對于不同的 ? , 對應的 p(x)的形狀不變化，只是位置不同,? — 形狀參數,固定 ? ，對于不同的? ，p(x) 的形狀不同。,若 ?1< ?2

6、則,比x = ? ? ?2 所對應的拐點更靠近直線x=?,附近值的概率更大。 x = ? ? ?1 所對應的拐點,前者取 ?,應用場合,若隨機變量 受到眾多相互獨立的隨機因素的影響，而每一個別因素的影響都是微小的，且這些影響可以疊加,則服從正態(tài)分布。,可用正態(tài)變量描述的實例非常之多：,各種測量的誤差； 人的生理特征；,工廠產品的尺寸； 農作物的收獲量；,海洋波浪的高度； 金屬線的抗拉強度；,熱噪聲電流強度；

7、學生們的考試成績；,標準正態(tài)分布的計算：,一種重要的正態(tài)分布：N (0,1) — 標準正態(tài)分布,,,,-x,x,對一般的正態(tài)分布 ： ～N( ? ,? 2),其分布函數,作變量代換,,,【例3】設 ~ N(1,4) , 求 P (0 ? ? 1.6),【解】,,解一,,解二 圖解法,,,,,0.2,,由圖,,0,,,,,,,,,,=1.645,=2. 575,= -1.645,= -2.575,標準正態(tài)分布的上 ? 分位數 u?,

8、【例5】設測量的誤差 ～N(7.5,100)(單位：米),問要進行多少次獨立測量，才能使至少有一次誤差的絕對值不超過10米的概率大于0.9?,解,設A表示進行 n 次獨立測量至少有一次誤差的絕對值不超過10米,所以至少要進行 4 次獨立測量才能滿足要求。,,3. 指數分布,則稱 服從 參數為?的指數分布。,?? > 0 為常數,對于任意的 0 < a < b,,應用場合,用指數分布描述的實例有：,隨機服務系統(tǒng)中