微分與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

1、學(xué)習(xí)任務(wù)四 微分,函數(shù)的微分雖然本質(zhì)上就是求導(dǎo), 但函數(shù)微分的計(jì)算同樣要求熟練掌握, 因?yàn)楹瘮?shù)的微分對(duì)于第三部分學(xué)習(xí)函數(shù)的不定積分和定積分都是非常重要的. 而對(duì)于微分的概念, 只需要大家了解即可.,1. 微分的定義設(shè)函數(shù)y = f(x)在x0及近旁有定義, 當(dāng)自變量x在x0處有一個(gè)改變量?x時(shí), 相應(yīng)的函數(shù)值的改變量為?y = f(x0 + ?x) - f(x0). 有時(shí)侯, 計(jì)算?y比較困難, 就需要考慮其近似計(jì)算. 這種近

2、似計(jì)算, 在?x很小時(shí)就是函數(shù)y = f(x) 在x0點(diǎn)的微分, 見(jiàn)下例.,設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，其面積為y = x2. 假定x有一個(gè)改變量?x，這時(shí)正方形的邊長(zhǎng)為x+ ?x，其面積為(x + ?x)2. 考慮面積的改變量?y = (x + ?x)2 - x2 = 2x?x + (?x)2. 當(dāng)然，這個(gè)改變量?y的計(jì)算還是比較簡(jiǎn)單的.,,,,,,當(dāng)在?x很小時(shí)，(?x)2就更小，圖中青色區(qū)域的面積. 換句話說(shuō)，改變量?y主要取決于2x?x

3、，圖中紫色區(qū)域的面積. 或者說(shuō)，?y ? 2x?x. 我們將2x?x稱為函數(shù)y = x2在x點(diǎn)的微分，記為dy. (d是微分英文單詞的第一個(gè)字母，應(yīng)編輯為“正體”)函數(shù)y = f(x) = x2在x點(diǎn)的微分dy = 2x?x. 由于 ，所以. 下面給出微分的一般定義.,微分的定義 假定函數(shù)y = f(x)在x點(diǎn)可導(dǎo)，當(dāng)自變量x有一個(gè)改變量?x時(shí)，將 稱為函數(shù)

4、y = f(x)在x點(diǎn)的微分dy，即特別地，當(dāng)y = x時(shí)，顯然dy = dx. 由于dy = 1· ?x ，所以dx = ?x. 也就是說(shuō)，自變量x的微分dx與自變量的改變量?x相等. 因此，函數(shù)y = f(x)在x點(diǎn)的微分,2. 微分的計(jì)算由于 , 所以計(jì)算函數(shù)y = f(x)的微分dy, 只需要計(jì)算 , 再乘以dx即可. 例(微分的計(jì)算) 求f(x) = 2

5、x3 + lnx 的微分. Solution 因?yàn)閒(x) = 2x3 + lnx ，所以于是,要求大家要熟練計(jì)算函數(shù)的微分，最好能記住常見(jiàn)函數(shù)的微分公式，見(jiàn)下表. 此表類(lèi)似于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式，它們?cè)诘谌糠钟懻摗胺e分”內(nèi)容時(shí)非常重要.(1)(2)(3)(4)(5)(6),(7)(8)(9)(10)(11),在學(xué)習(xí)積分內(nèi)容時(shí)，常常將求微分的過(guò)程反過(guò)來(lái)做，見(jiàn)下面的例子.例 填空(1) d(

6、 ) = 2dx. (2) d( ) = sinxdx.(3) d( ) = dx.(4) d( ) = exdx.,Solution (1) 因?yàn)?, 所以d(2x + C) = 2dx. (2) 因?yàn)?, 所以d(-cosx + C) = si

7、nxdx. (3) 因?yàn)?, 所以(4) 因?yàn)?, 所以注意 由于 , 所以在每個(gè)空里都加一個(gè)常數(shù)C. 實(shí)際上，這個(gè)C在積分時(shí)要根據(jù)具體問(wèn)題而定.,學(xué)習(xí)任務(wù)五 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,前面已經(jīng)知道，利用導(dǎo)數(shù)可以得出曲線在某點(diǎn)的切線方程. 利用導(dǎo)數(shù)還可以討論函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極大值與極小值、曲線的凹凸性等.,1

8、. 函數(shù)的單調(diào)性假定函數(shù)y = f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo). 若y = f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)單調(diào)遞增，由下圖知道，y = f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)每點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)均大于0.,,,,,,,同理，若y = f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)單調(diào)遞減，由下圖知道，y = f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)每點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)均小于0.,,,,,,,反過(guò)來(lái)亦成立,即有下述定理.定理 假定函數(shù)y = f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)可導(dǎo).(1) 若在區(qū)間

9、(a, b)內(nèi) , 則y = f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)單調(diào)遞增. (2) 若在區(qū)間(a, b)內(nèi) , 則y = f(x)在區(qū)間(a, b)內(nèi)單調(diào)遞減.利用上述結(jié)論，很容易知道f(x) = x3在(-?, +?)都是單調(diào)遞增的(見(jiàn)下圖)，因?yàn)?在(-?, +?)內(nèi).,對(duì)于函數(shù)f(x) = x2, 由于

10、 , 在(0, +?)內(nèi) 是單調(diào)遞增函數(shù)，在(- ?, 0)內(nèi) 是單調(diào)遞減函數(shù)(見(jiàn)下圖). 再次請(qǐng)大家注意, 函數(shù)的單調(diào)性與所討論的區(qū)間有關(guān).,,,,,對(duì)于給定的函數(shù)y = f(x)，如何討論它在哪個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增、在哪個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減? 討論步驟如下. (1) 求出y = f(x)的定義域. (2) 求出y = f(x)導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)和導(dǎo)數(shù)

11、不存在的點(diǎn)，這些點(diǎn)將定義域分成若干個(gè)小區(qū)間.(3) 在每個(gè)小區(qū)間內(nèi)，分別考慮 是大于0還是小于0，進(jìn)而可得出在這個(gè)小區(qū)間是單調(diào)遞增還是單調(diào)遞減. 使得 的x稱為函數(shù)f(x)的駐點(diǎn).,例(利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性) 討論 的單調(diào)性.Solution (1) f(x)的定義域?yàn)?-?, +?). (2) 所給函數(shù)f(x)在

12、每個(gè)點(diǎn)都可導(dǎo). 因?yàn)?,令 , 得出x = -2和 x = 2. (3) x = -2和 x = 2將定義域 (-?, +?)分成三個(gè)小區(qū)間：(-?, -2), (-2, 2), (2, +?).,(-?, -2): 由于x 2，所以 , 在(2, +?)上單調(diào)遞增.,2. 函數(shù)的極大值與極小值若在點(diǎn)x = x0的左邊單調(diào)遞增，在點(diǎn)

13、x0的右邊單調(diào)遞減，則稱x0為f(x)的極大值點(diǎn)，f(x0)稱為極大值.,,,,,若在點(diǎn)x = x0的左邊單調(diào)遞減，在點(diǎn)x0的右邊單調(diào)遞增，則稱x0為f(x)的極小值點(diǎn)，f(x0)稱為極小值. 注意 極大值與極小值是函數(shù)值，而極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)是自變量的取值.,,,,,可以證明定理 極值點(diǎn)是駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn).上述定理的逆不成立，如y = x3，在x = 0時(shí)導(dǎo)數(shù)為0，但x = 0不是y = x3的極值點(diǎn),例

14、(利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的極值 ) 討論 的極值.Solution (1) f(x)的定義域?yàn)?-?, +?). (2) 所給函數(shù)f(x)在每個(gè)點(diǎn)都可導(dǎo). 因?yàn)?,令 , 得出x = -2和 x = 2. (3) x = -2和 x = 2將定義域 (-?, +?)分成三個(gè)小區(qū)間：(-?, -2), (-2,

15、2), (2, +?).,(-?, -2): 由于x 2，所以 , 在(2, +?)上單調(diào)遞增.由此可見(jiàn)，x = -2是極大值點(diǎn)，極大值為f(-2) = 28/3. x = 2是極小值點(diǎn)，極小值為f(2) = -4/3.由前面的兩個(gè)例子知道，討論函數(shù)的單調(diào)性和極大(小)值，可以同時(shí)進(jìn)行.,3. 曲線的凹凸性假定函數(shù)y = f(x) 在(a, b)區(qū)間內(nèi)二階可導(dǎo). 利用二階導(dǎo)數(shù)可以討論曲線的凹凸性.

16、(1) 在(a, b)區(qū)間內(nèi)曲線是凹的, 是指如下圖形形狀.在(a, b)區(qū)間內(nèi)曲線是凹的充要條件 (導(dǎo)函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)).,,,,,,,,,(2) 在(a, b)區(qū)間內(nèi)曲線是凸的, 是指如下圖形形狀.在(a, b)區(qū)間內(nèi)曲線是凸的充要條件 (一階導(dǎo)函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)).,,,,,,,,,二階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)和二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)是很關(guān)

17、鍵的. 討論步驟如下. (1) 求出y = f(x)的定義域. (2) 求出y = f(x) 二階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)和二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn), 這些點(diǎn)將定義域分成若干個(gè)小區(qū)間.(3) 在每個(gè)小區(qū)間內(nèi)，分別考慮 是大于0還是小于0，進(jìn)而可得出在這個(gè)小區(qū)間曲線是凹還是凸. 凹凸性發(fā)生變化的曲線上的點(diǎn)稱為該曲線的的拐點(diǎn).,例(利用二階導(dǎo)數(shù)討論曲線的凹凸性) 討論曲線f(x) = x4 – 2x3 +1的凹凸性及拐點(diǎn).Sol

18、ution (1) f(x)的定義域?yàn)?-?, +?).(2) 所給函數(shù)f(x)在每個(gè)點(diǎn)都二階可導(dǎo). 因?yàn)?, 進(jìn)而 令 , 得出x = 0和 x = 1. (3) x = 0和 x = 1將定義域 (-?, +?)分成三個(gè)小區(qū)間：(-?, 0), (0, 1), (1, +?).,(-?, 0): 由于x