第3章 導(dǎo)數(shù)與微分

1、第一講第一講導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念教學(xué)內(nèi)容教學(xué)內(nèi)容1.導(dǎo)數(shù)的物理與幾何模型2.導(dǎo)數(shù)的定義3.求導(dǎo)舉例4.函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系.教學(xué)目的與要求教學(xué)目的與要求1.理解導(dǎo)數(shù)的概念及它的幾何意義、物理意義2.能用導(dǎo)數(shù)的定義求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)3.理解可導(dǎo)與函數(shù)連續(xù)的關(guān)系4.會(huì)用左、右導(dǎo)數(shù)的概念判斷分?jǐn)嗪瘮?shù)的連續(xù)和可導(dǎo)性.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的概念及它的幾何意義、物理意義用左、右導(dǎo)數(shù)的概念判斷分?jǐn)嗪瘮?shù)的連續(xù)和可導(dǎo)性.教學(xué)時(shí)數(shù)42.12

2、.1導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的概念一、導(dǎo)數(shù)的物理與幾何模型一、導(dǎo)數(shù)的物理與幾何模型1.1.變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度設(shè)一質(zhì)點(diǎn)在坐標(biāo)軸上作非勻速運(yùn)動(dòng)?時(shí)刻t質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)為s?s是t的函數(shù)?s?f(t)?求動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻t0的速度?考慮比值??0000)()(tttftfttss?????這個(gè)比值可認(rèn)為是動(dòng)點(diǎn)在時(shí)間間隔t?t0內(nèi)的平均速度?如果時(shí)間間隔選較短?這個(gè)比值在實(shí)踐中也可用來(lái)說(shuō)明動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻t0的速度?但這樣做是不精確的?更確地應(yīng)當(dāng)

3、這樣?令t?t0?0?取比值的極限?如果這個(gè)極限存在?設(shè)為v?即00)()(tttftf???00)()(lim0tttftfvtt????這時(shí)就把這個(gè)極限值v稱為動(dòng)點(diǎn)在時(shí)刻t0的速度?2.2.平面曲線的切線的斜率平面曲線的切線的斜率設(shè)有曲線C及C上的一點(diǎn)M?在點(diǎn)M外另取C上一點(diǎn)N?作割線MN?當(dāng)點(diǎn)N沿曲線C趨于點(diǎn)M時(shí)?如果割線ＭＮ繞點(diǎn)Ｍ旋轉(zhuǎn)而趨于極限位置MT?直線ＭＴ就稱為曲線Ｃ有點(diǎn)Ｍ處的切線?設(shè)曲線C就是函數(shù)y?f(x)的圖形?現(xiàn)在

4、要確定曲線在點(diǎn)M(x0y0)(y0?f(x0))處的切線?只要定出切線的斜率就行了?為此?在點(diǎn)M外另取C上一點(diǎn)N(xy)?于是割線MN的2.2.函數(shù)函數(shù)在一點(diǎn)在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)處導(dǎo)數(shù)——導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù))(xfy?x將處導(dǎo)數(shù)定義中的換成，如果與之比當(dāng)時(shí)的極限存在，則稱函0x0xxy?x?0??x數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記為，)(xfy?x)(xfy?x)(xf?即.??)(xf0lim??x???xy0lim??xxxfxx

5、f????)()(顯然，當(dāng)在某區(qū)間內(nèi)變化時(shí)，是的函數(shù).因此稱之為導(dǎo)函數(shù)導(dǎo)函數(shù).導(dǎo)函數(shù)xI)(xf?x的記號(hào)還有或y?dxdydxxdf)(3.3.處導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系處導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系0x函數(shù)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)是導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值即)(xfy?0x）（0xf?）（xf??x0x.??）（0xf0)(xxxf??通常，導(dǎo)函數(shù)簡(jiǎn)稱為導(dǎo)數(shù)[例題例題1]1]求函數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)以及在的導(dǎo)數(shù)以及在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).2xy?1?x4.4.不可導(dǎo)的情形不可

6、導(dǎo)的情形由可導(dǎo)定義，如果的極限不存在，即有下述情況之一，稱函數(shù)在0lim??xxy??)(xfy?點(diǎn)處不可導(dǎo)不可導(dǎo)0x（1）=；（2）無(wú)穩(wěn)定的變化趨勢(shì).0lim??xxy???0lim??xxy??[例題例題2]2]（1）求函數(shù)）求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).xy?0?x（2）求函數(shù)）求函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù).31xy?0?x5.5.導(dǎo)數(shù)定義的不同形式導(dǎo)數(shù)定義的不同形式=的具體形式有以下情況，需要學(xué)生靈活運(yùn)用.0lim??xxy??)(0x