導(dǎo)數(shù)的綜合大題及其分類

1、導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用是歷年高考必考的熱點(diǎn)，試題難度較大，多以壓軸題形式出現(xiàn)，命題的熱點(diǎn)主要有利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值；利用導(dǎo)數(shù)研究不等式；利用導(dǎo)數(shù)研究方程的根(或函數(shù)的零點(diǎn))；利用導(dǎo)數(shù)研究恒成立問題等體現(xiàn)了分類討論、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用.題型一利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值題型概覽：函數(shù)單調(diào)性和極值、最值綜合問題的突破難點(diǎn)是分類討論（1）單調(diào)性討論策略：單調(diào)性的討論是以導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)為分界點(diǎn)，把函

2、數(shù)定義域分段，在各段上討論導(dǎo)數(shù)的符號，在不能確定導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)的相對位置時(shí)，還需要對導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)的位置關(guān)系進(jìn)行討論(2)極值討論策略：極值的討論是以單調(diào)性的討論為基礎(chǔ)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)的極值點(diǎn)(3)最值討論策略：圖象連續(xù)的函數(shù)在閉區(qū)間上最值的討論，是以函數(shù)在該區(qū)間上的極值和區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較為標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行的，在極值和區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值中最大的為最大值，最小的為最小值已知函數(shù)f(x)＝x－，g(x)＝alnx(a∈R)1x(1)當(dāng)

3、a≥－2時(shí)，求F(x)＝f(x)－g(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)h(x)＝f(x)＋g(x)，且h(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)為x1，x2，其中x1∈，求h(x1)－h(huán)(x2)的最(0，12]小值[審題程序]第一步：在定義域內(nèi)，依據(jù)F′(x)＝0根的情況對F′(x)的符號討論；第二步：整合討論結(jié)果，確定單調(diào)區(qū)間；第三步：建立x1、x2及a間的關(guān)系及取值范圍；第四步：通過代換轉(zhuǎn)化為關(guān)于x1(或x2)的函數(shù)，求出最小值[規(guī)范解答](1)由題意得F(x)

4、＝x－－alnx，1x其定義域?yàn)?0，＋∞)，則F′(x)＝，x2－ax＋1x2令m(x)＝x2－ax＋1，則Δ＝a2－4.①當(dāng)－2≤a≤2時(shí)，Δ≤0，從而F′(x)≥0，∴F(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)；又H(x1)＝h(x1)－h(huán)＝h(x1)－h(huán)(x2)，(1x1)∴[h(x1)－h(huán)(x2)]min＝H＝5ln2－3.(12)[解題反思]本例(1)中求F(x)的單調(diào)區(qū)間，需先求出F(x)的定義域，同時(shí)在解不等式F′(x)0時(shí)需

5、根據(jù)方程x2－ax＋1＝0的根的情況求出不等式的解集，故以判別式“Δ”的取值作為分類討論的依據(jù)在(2)中求出h(x1)－h(huán)(x2)的最小值，需先求出其解析式由題可知x1，x2是h′(x)＝0的兩根，可得到x1x2＝1，x1＋x2＝－a，從而將h(x1)－h(huán)(x2)只用一個(gè)變量x1導(dǎo)出從而得到H(x1)＝h(x1)－h(huán)，這樣將所求問題轉(zhuǎn)化為研究新函數(shù)H(x)＝h(x)－h(huán)在上的最值問題，體(1x1)(1x)(0，12)現(xiàn)轉(zhuǎn)為與化歸數(shù)學(xué)思想