3剛體力學基礎

1、第三章 剛體力學基礎,,,2,剛體的轉動,在外力作用下形狀和大小不發(fā)生變化的物體,剛體內任意一條直線總是平行運動,剛體,剛體的平動,剛體中所有點的運動軌跡完全相同,,,,,,,3,剛體中所有的點都繞同一直線作圓周運動,剛體的轉動,,,,,,,,剛體的定軸轉動：剛體繞固定轉軸的轉動,即轉軸固定不動,4,描述剛體轉動的物理量,對定軸轉動的剛體可選取垂直于轉軸的一個平面進行研究,? P,點P的轉動可代表整個剛體,描述點P轉動:,角坐標 ?

2、(t),角速度,一般規(guī)定逆時針轉動為正,?>0,角速度矢量 𝝎,方向用右手法則確定,5,角加速度,角加速度矢量 𝜷,角量與線量的關系,瞬時速率,切向加速度,法向加速度,,考慮方向關系后：,瞬時速度,6,一圓柱形轉子可繞垂直其橫截面通過中心的軸轉動.開始時它的角速度?0=0,經(jīng)過300秒后,角速度?=18000轉/分.已知其角加速度?與時間成正比.問在這段時間內,轉子轉過多少轉?,解: 已知

3、 ? = Ct,即:,或 d? = Ctdt,積分:,得:,由條件 t=300s 時,角速度為,再由:,積分,在0~300s內,轉過的轉數(shù),= 3?104 轉,得,例3.1,7,力矩,設力 f 的作用線位于轉動平面內，其與轉軸的距離 d 即為力 f 對該轉軸的力臂,力的大小與力臂的乘積，叫做力 f 對該轉軸的力矩M,矢量表示,,,,O,P,f,,?,r,d,8,對定軸轉動 𝑴=𝑴𝟏

4、;+𝑴𝟐+…+𝑴𝒏,一對內力對任意轉軸的力矩,成對內力大小相等，方向相反,其力臂必相同，故力矩大小相等,一對內力對任意轉軸的合力矩為零,多個外力作用于質點系上時,合力矩 𝑴 = 𝑴𝟏 + 𝑴𝟐 +?+ 𝑴𝒏,9,,,,O,P,Fi,fi,,,?i,?i,轉動定

5、律,剛體轉軸為 O,對任意質點 P，受外力 Fi 和內力 fi,在切向方向，有：,同乘 ri,,,,外力力矩,內力力矩,對所有質點求和,（內力合力矩為0）,10,剛體在外力矩作用下，獲得的角加速度的大小與合外力矩的大小呈正比，和剛體對給定轉軸的轉動慣量呈反比，角加速度的方向和合外力矩的方向相同。,,剛體的轉動定律,轉動慣量,定義轉動慣量,剛體的轉動慣量是剛體轉動時慣性的量度,對分立質量系統(tǒng)（質點系）,11,對質量連續(xù)分布的剛體,質量為線

6、分布,質量為面分布,質量為體分布,其中 ?、?、? 分別為質量的線密度、面密度和體密度,,,,,,12,,,一質量為m, 長為l 的均勻長棒. 求通過棒中心并與棒垂直的軸的轉動慣量.,解:建立如圖坐標系,在x處取長為dx的質元,如果轉軸在棒的一端呢?,例3.2,13,求質量為m,半徑為R的細圓環(huán)或勻質圓盤繞通過中心并與圓面垂直的轉軸的轉動慣量,解:細圓環(huán)的質量可認為全部集中在半徑為R的圓周上,故,或,對勻質圓盤:,在r處取寬為dr的細圓

7、環(huán),設質量面密度為,細圓的面積為: dS=2?rdr,則 dm = ?dS = 2?r?dr,與質量分布有關.,例3.3,14,,,,,,,l,l,R,R,R,R1,R2,15,與剛體質量分布有關與轉軸的位置有關,JC 是剛體通過質心的轉動慣量,d 是質心轉軸到另一平行軸的距離,如長為l 的直棒通過質心C的轉動慣量為,則通過一端轉軸的轉動慣量為,剛體的轉動慣量,平行軸定理,,16,如圖所示，質量為m的滑塊A放在光滑斜面上，通過定滑

8、輪C由不可伸長的輕繩與質量同為m的物體B相連。定滑輪C是一質量為m、半徑為R的圓盤。物體運動過程中，繩與輪之間沒有相對滑動。求繩中的張力T1、T2及物體的加速度a。（滑輪轉軸光滑）,例3.2,17,解:物體受力分析如下:,不計繩的質量, T1=T´1 ,T2=T´2,對A: T'1－mg sin? = ma A (1),對B: mg -T'2 = m aB (2),由

9、轉動定律,對C: RT2 – RT1 = J? (3),又　　aA = aB = R? (4),且,聯(lián)立求解得,18,飛輪的轉動慣量為J，t = 0時角速度為?0.此后飛輪經(jīng)歷制動過程，阻力矩 M = ?K?2 (k為常量）,當?=?0/3時，飛輪的角加速度為多少，從開始制動到現(xiàn)在經(jīng)歷的時間為多少？,解 (1)由轉動定律,即,把?=?0/3代入上式，有,(2) 由轉動定律的微分形式,分離變量并積分,解

10、得:,例3.3,19,,細桿長為l, 質量為m ,求轉到? 角時的角加速度和角速度.,解:,𝑵 對軸O的力矩為零,重力 𝑮 對O的力矩為,由轉動定律,轉動慣量,利用,有,積分:,例3.4,19,,20,力矩的功和功率,,,,O,P,F,,?,,ds,,d?,元功,r,總功,功率,當力矩與角速度同方向時，功和功率為正值，此力矩為動力矩,當力矩與角速度反方向時，功和功率為負值，此力矩為阻力矩,21,轉動

11、動能,剛體上任一質點的動能,各質點動能總和即為剛體的轉動動能,對作定軸轉動的剛體,合外力矩的功,,22,合外力矩對定軸轉動的剛體所做的功，等于剛體轉動動能的增量,剛體定軸轉動時的動能定理,剛體的合內力矩為0，其功也為0對非剛體來說，轉動過程中轉動慣量會有變化，內力或內力矩的功可能不為0，此時需用系統(tǒng)的動能定理進行具體的分析。,系統(tǒng)的機械能包括系統(tǒng)勢能，系統(tǒng)內各物體的平動動能和轉動動能。機械能守恒定律仍適用。,23,如圖,一根質量為m,

12、長為l的均勻細棒OA，可繞固定點O在豎直平面內轉動，今使棒從水平位置開始自由下擺，求擺到與水平成30?角時，求中心點C和端點A的速度,解：,重力矩為,由轉動的動能定理,重力矩的功為,而轉動慣量J為,解得,則,例3.5,24,質點的角動量,? m,定義質點 m 對點 O 的角動量,大小 L = mvr sin?,方向為右手關系,角動量 𝑳 是矢量,質點的角動量是對參考點 O 而言的,角動量大小可以表達為 mvd,對于做

13、圓周運動的質點，其對圓心 O 的角動量大小為,L = rmv = m r2?,,,25,質點的角動量定理,牛頓第二定律 𝑭 = 𝒅 𝒑 𝒅𝒕 = 𝒅 𝒎 𝒗 𝒅𝒕,𝒓 × 𝑭 = 𝒓 × 𝒅

14、; 𝒎 𝒗 𝒅𝒕,,,定義 𝑴 𝒅𝒕 為沖量矩,質點所受的沖量矩等于質點角動量的增量,質點的角動量定理,𝒓 ×,26,質點的角動量守恒,若 𝑴 =𝟎 ，則 𝑳 為恒矢量,當質點所受對參考點O的合力矩為零時，質點對該參考點O的角動量為恒矢量。,

15、當質點只受有心力作用時，其角動量不隨時間變化，即角動量守恒。,當 𝑭 ∥ 𝒓 時，力矩 𝑴 = 𝒓 × 𝑭 =𝟎，角動量守恒,27,如圖,子彈擊中木塊并嵌在木塊內運動。,解: 擊中瞬間,v0方向動量守恒,A?B過程，子彈、木塊系統(tǒng)機械能守恒,A?B過程，水平面內角動量守恒,聯(lián)立求解:,例3.6,28,討論圓錐擺的角動量守恒問題

16、,(1)質點m對圓心O和懸點B的角動量,,(2)重力和張力對O和B的力矩,,(3)角動量是否守恒？,解: (1) 對O點,大小 L0=r0mvsin90?=r0mv=mr2?,對B,LB= l·mvsin90?= mlr?,(2) 力矩,重力矩大小:Mg=r0mg,拉力矩 MT = r0Tcos? = r0mg,對O點,對B點,MT = 0, Mg=r0mg,(3)對O點角動量守恒，對B點不守恒,?,例3.7,29,剛體定軸

17、轉動的角動量定理,剛體上任一質點對轉軸的角動量,剛體對轉軸的力矩,質點所受力矩,剛體對轉軸的角動量,考慮到剛體定軸轉動時內力合力矩為0，則作用于剛體的合外力矩等于剛體繞此定軸的角動量隨時間的變化率。,當 J 為恒量時,,30,定義 𝑴 𝒅𝒕 為沖量矩,作用在物體上的沖量矩等于物體角動量的增量,角動量定理,,剛體的角動量守恒定律,若 𝑴 =𝟎 ，則 &#

18、119923; =𝑱𝝎 為恒矢量,若物體所受外力合力矩為零，或者不受外力矩作用,物體的角動量保持不變——角動量守恒定律。,當J不變時（剛體），𝑱𝝎=𝑱𝝎𝟎→𝝎=𝝎𝟎,當J可變時 𝑱𝝎=𝑱𝟎𝝎x

19、782;→𝝎= 𝑱𝟎 𝑱 𝝎𝟎,31,一長為l、質量為m? 的桿可繞支點O自由轉動.一質量為m、速率為v的子彈射入桿內距支點為a 處, 使桿的偏轉角為30º. 問子彈的初速率為多少?,解：把子彈和桿作為一個系統(tǒng), 碰撞過程中,系統(tǒng)所受外力矩為零, 角動量守恒,碰后子彈、桿和地系統(tǒng)，機械能守恒,聯(lián)立兩式得,m,例3.8,32,質量 m