ch3中值定理與導數(shù)的應用

1、Ch3、中值定理與導數(shù)的應用1、中值定理定理一、一、羅爾羅爾定理定理若滿足①在上連續(xù)；②在內(nèi)可導；③，則在內(nèi)至)(xf??ba??ba)()(bfaf???ba少存在一點。0)(????f使證：因，故在上有最大值、最小值，][)(baCxf?)(xf??baMm若，對任意，均有，結論成立。CxfmM??)(則)(ba??0)(???f若，因，故不能同時等于，mM?)()(bfaf?)()(bfaf和mM和不妨設，即內(nèi)部一點處取最大值。M

2、af?)()()(baxf在?當0)(0)()(lim0)()(00??????????????????????fxfxfxfxfxx即時同理可證，又在內(nèi)可導，故，即。0)(???f)(xf??ba)()(?????ff0)(???f例1、驗證羅爾定理對上的正確性。???????656sin)(??在xxf證：[條件驗證]，內(nèi)可導上連續(xù)在為初等函數(shù)?????????????656656sin)(????xxf，即滿足羅爾定理條件。2ln

3、656?????????????????ff且[結論驗證]，顯然有，故得證。xxxxfcotcossin1)(???0)(6562???????????????f使（既要驗證條件，又要驗證結論既要驗證條件，又要驗證結論）例2、設的實數(shù)，證明方程013221010??????naaaaaaann??為滿足在內(nèi)至少有一個實根。02210?????nnxaxaxaa???10證：設132210132)(???????nnxnaxaxaxaxf

4、?則在上連續(xù)，在內(nèi)連續(xù)，且，)(xf??10??100)0(?f0132)1(210???????naaaafn?3證：令2arccosarcsin)(????xxxf則Cxfxxxf????????????????)(01111)(22得又220arccos0arcsin)0(??????Cf即故??112arccosarcsin????xxx?同理可證2cotarctan???xarcx三、柯西中三、柯西中值定理定理若滿足①在上連續(xù)

5、；②在內(nèi)可導；③，則至少存在)()(xFxf??ba??ba0)(??xF一，??ba??。)()()()()()(??FfaFbFafbf?????使證：令，??)()()()()()()()()(aFxFaFbFafbfafxfx???????則在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且，)(x???ba??ba)()(ba???由羅爾定理，至少有一個使，??ba??0)(????即。)()()()()()(??FfaFbFafbf?????例6、設在

6、上連續(xù)，在內(nèi)可導，證明在內(nèi)至少存在一點，)(xf??ba??ba)0(?a??ba?使。????)()()(222??fabafbf????證：令，則、在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且2)(xxF?)(xf)(xF??ba??ba02)(???xxF由柯西定理，有使，??ba??)()()()()()(??FfaFbFafbf?????即????)()()(222??fabafbf????2、洛必達法洛必達法則1、型00定理定理1：若①；②；0)