極限概念

1、基本概述基本概述編輯編輯極限的思想是近代數(shù)學(xué)的一種重要思想，數(shù)學(xué)分析就是以極限概念為基礎(chǔ)、極限理論(包括級(jí)數(shù))為主要工具來(lái)研究函數(shù)的一門學(xué)科。所謂極限的思想，是指用極限概念分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的一種數(shù)學(xué)思想。用極限思想解決問(wèn)題的一般步驟可概括為：對(duì)于被考察的未知量，先設(shè)法構(gòu)思一個(gè)與它有關(guān)的變量，確認(rèn)這變量通過(guò)無(wú)限過(guò)程的結(jié)果就是所求的未知量；最后用極限計(jì)算來(lái)得到這結(jié)果。極限思想是微積分的基本思想，數(shù)學(xué)分析中的一系列重要概念，如函數(shù)的連續(xù)性、

2、導(dǎo)數(shù)以及定積分等等都是借助于極限來(lái)定義的。如果要問(wèn)：“數(shù)學(xué)分析是一門什么學(xué)科”那么可以概括地說(shuō)：“數(shù)學(xué)分析就是用極限思想來(lái)研究函數(shù)的一門學(xué)科”。2產(chǎn)生發(fā)展產(chǎn)生發(fā)展編輯編輯由來(lái)由來(lái)與一切科學(xué)的思想方法一樣，極限思想也是社會(huì)實(shí)踐的產(chǎn)物。極限的思想可以追溯到古代，劉徽的割圓術(shù)就是建立在直觀基礎(chǔ)上的一種原始的極限思想的應(yīng)用；古希臘人的窮竭法也蘊(yùn)含了極限思想，但由于希臘人“對(duì)無(wú)限的恐懼”，他們避免明顯地“取極限”，而是借助于間接證法——?dú)w謬法來(lái)完

3、成了有關(guān)的證明。到了16世紀(jì)，荷蘭數(shù)學(xué)家斯泰文在考察三角形重心的過(guò)程中改進(jìn)了古希臘人的窮竭法，他借助幾何直觀，大膽地運(yùn)用極限思想思考問(wèn)題，放棄了歸繆法的證明。如此，他就在無(wú)意中“指出了把極限方法發(fā)展成為一個(gè)實(shí)用概念的方向”。發(fā)展發(fā)展極限思想的進(jìn)一步發(fā)展是與微積分的建立緊密相聯(lián)系的。16世紀(jì)的歐洲處于資本主義萌芽時(shí)期，生產(chǎn)力得到極大的發(fā)展，生產(chǎn)和技術(shù)中大量的問(wèn)題，只用初等數(shù)學(xué)的方法已無(wú)法解決，要求數(shù)學(xué)突破只研究常量的傳統(tǒng)范圍，而提供能夠用

4、以描述和研究運(yùn)動(dòng)、變化過(guò)程的新工具，這是促進(jìn)極限發(fā)展、建立微積分的社會(huì)背景。起初牛頓和萊布尼茨以無(wú)窮小概念為基礎(chǔ)建立微積分，后來(lái)因遇到了邏輯困難，所以在他們的晚期都不同程度地接受了極限思想。牛頓用路程的改變量ΔS與時(shí)間的改變量Δt之比ΔSΔt表示運(yùn)動(dòng)物體的平均速度，讓?duì)無(wú)限趨近于零，得到物體的瞬時(shí)速度，并由此引出導(dǎo)數(shù)概念和微分學(xué)理論。他意識(shí)到極限概念的重要性，試圖以極限概念作為微積分的基礎(chǔ)，他說(shuō)：“兩個(gè)量和量之比，如果在有限時(shí)間內(nèi)不斷

5、趨于相等，且在這一時(shí)間終止前互相靠近，使得其差小于任意給定的差，則最終就成為相等”。但牛頓的極限觀念也是建立在幾何直多小”等，因此還保留著幾何和物理的直觀痕跡，沒(méi)有達(dá)到徹底嚴(yán)密化的程度。為了排除極限概念中的直觀痕跡，維爾斯特拉斯提出了極限的靜態(tài)的定義，給微積分提供了嚴(yán)格的理論基礎(chǔ)。所謂an=A，就是指：“如果對(duì)任何ε0，總存在自然數(shù)N，使得當(dāng)nN時(shí)，不等式|an－A|ε恒成立”。這個(gè)定義，借助不等式，通過(guò)ε和N之間的關(guān)系，定量地、具體地

6、刻劃了兩個(gè)“無(wú)限過(guò)程”之間的聯(lián)系。因此，這樣的定義是嚴(yán)格的，可以作為科學(xué)論證的基礎(chǔ)，至今仍在數(shù)學(xué)分析書籍中使用。在該定義中，涉及到的僅僅是數(shù)及其大小關(guān)系，此外只是給定、存在、任取等詞語(yǔ)，已經(jīng)擺脫了“趨近”一詞，不再求助于運(yùn)動(dòng)的直觀。眾所周知，常量數(shù)學(xué)靜態(tài)地研究數(shù)學(xué)對(duì)象，自從解析幾何和微積分問(wèn)世以后，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)，人們有可能對(duì)物理過(guò)程進(jìn)行動(dòng)態(tài)研究。之后，維爾斯特拉斯建立的ε－N語(yǔ)言，則用靜態(tài)的定義刻劃變量的變化趨勢(shì)。這種“靜態(tài)——?jiǎng)討B(tài)—

7、—靜態(tài)”的螺旋式的演變，反映了數(shù)學(xué)發(fā)展的辯證規(guī)律。設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x。的某一去心鄰域內(nèi)有定義，如果存在常數(shù)A，對(duì)于任意給定的正數(shù)ε（無(wú)論它多么?。偞嬖谡龜?shù)δ，使得當(dāng)x滿足不等式0|xx。|δ時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式：|f(x)A|ε那么常數(shù)A就叫做函數(shù)f(x)當(dāng)x→x。時(shí)的極限。思維功能思維功能極限思想揭示了變量與常量、無(wú)限與有限的對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系，是唯物辯證法的對(duì)立統(tǒng)一規(guī)律在數(shù)學(xué)領(lǐng)域中的應(yīng)用。借助極限思想，人們可以從有限

8、認(rèn)識(shí)無(wú)限，從“不變”認(rèn)識(shí)“變”，從直線形認(rèn)識(shí)曲線形，從量變認(rèn)識(shí)質(zhì)變，從近似認(rèn)識(shí)精確。無(wú)限與有限有本質(zhì)的不同，但二者又有聯(lián)系，無(wú)限是有限的發(fā)展。無(wú)限個(gè)數(shù)的和不是一般的代數(shù)和，把它定義為“部分和”的極限，就是借助于極限的思想方法，從有限來(lái)認(rèn)識(shí)無(wú)限的。“變”與“不變”反映了事物運(yùn)動(dòng)變化與相對(duì)靜止兩種不同狀態(tài)，但它們?cè)谝欢l件下又可相互轉(zhuǎn)化，這種轉(zhuǎn)化是“數(shù)學(xué)科學(xué)的有力杠桿之一”。例如，要求變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度，用初等方法是無(wú)法解決的，困難在于

9、速度是變量。為此，人們先在小范圍內(nèi)用勻速代替變速，并求其平均速度，把瞬時(shí)速度定義為平均速度的極限。曲線形與直線形有著本質(zhì)的差異，但在一定條件下也可相互轉(zhuǎn)化，正如恩格斯所說(shuō)：“直線和曲線在微分中終于等同起來(lái)了”。善于利用這種對(duì)立統(tǒng)一關(guān)系是處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要手段之一。直線形的面積容易求得，求曲線形的面積問(wèn)題用初等的方法是不能解決的。劉徽的割圓術(shù)就是從直線形來(lái)認(rèn)識(shí)曲線形的典型例子。量變和質(zhì)變既有區(qū)別又有聯(lián)系，兩者之間有著辯證的關(guān)系。量變能引起