矩形、菱形的性質(zhì)定理和判定定理及其證明

1、矩形、菱形和正方形的性質(zhì)定理和判定定理及其證明一、知識(shí)概述一、知識(shí)概述1、矩形的性質(zhì)定理定理定理1：矩形的四個(gè)角都是直角說(shuō)明：說(shuō)明：(1)矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì)(2)矩形的這一特性可用來(lái)證明兩條線段互相垂直定理定理2：矩形的對(duì)角線相等說(shuō)明說(shuō)明：矩形的這一特性可用來(lái)證明兩條線段相等推論：推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半說(shuō)明：說(shuō)明：與中位線定理及在直角三角形中，30角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半一樣，這一推論可用來(lái)證明線段之間

2、的倍數(shù)關(guān)系2、矩形的判定定理定理定理1：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形定理定理2：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形3、菱形的性質(zhì)定理定理：定理：菱形的四條邊都相等說(shuō)明：說(shuō)明：(1)菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)，并且具有它特殊的性質(zhì)(2)利用該特性可以證明線段相等定理定理2：菱形的對(duì)角線互相垂直并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角說(shuō)明：說(shuō)明：根據(jù)菱形的特性可知，其對(duì)角線將它分成四個(gè)全等的直角三角形，再由直角三角形的相關(guān)性質(zhì)，證明線段或角的關(guān)系，這樣就將四

3、邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題來(lái)處理4、菱形的判定定理定理定理1：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形定理定理2：四條邊都相等的四邊形是菱形說(shuō)明：說(shuō)明：菱形的兩個(gè)判定定理起點(diǎn)不同，一個(gè)是平行四邊形，一個(gè)是四邊形，判定時(shí)的條件不同，一個(gè)是對(duì)角線互相垂直，一個(gè)是四條邊都相等5、正方形的性質(zhì)普通性質(zhì)：普通性質(zhì)：正方形有四邊形、平行四邊形、矩形、菱形的一切性質(zhì)特有性質(zhì)：特有性質(zhì)：(1)邊：四條邊都相等，鄰邊垂直，對(duì)邊平行；(2)角：四個(gè)角都是直角；(3)

4、對(duì)角線：①相等，②互相垂直平分，③每條對(duì)角線平分一組對(duì)角說(shuō)明：說(shuō)明：正方形這些性質(zhì)根據(jù)定義可直接得出特殊性質(zhì)——正方形的一條對(duì)角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形，對(duì)角線與邊的夾角是45，正方形的兩條對(duì)角線把正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形6、正方形的判定(1)判定一個(gè)四邊形為正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：①先證它是矩形，再證有一組鄰邊相等；②先證它是菱形，再證有一個(gè)角為直角(2)判定正方形的一般順序；①先證明是平行四邊形；

5、②再證有一組鄰邊相等(有一個(gè)角是直角)；③最后證明有一個(gè)角是直角(有一組鄰邊相等)說(shuō)明：說(shuō)明：證明一個(gè)四邊形是正方形的方法很多，但一定注意不要缺少條件二、重難點(diǎn)知識(shí)歸納二、重難點(diǎn)知識(shí)歸納例2、如圖所示，4個(gè)動(dòng)點(diǎn)P，Q，E，F(xiàn)分別從正方形ABCD四個(gè)頂點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，沿著AB，BC，CD，DA以同樣的速度向B，C，D，A各點(diǎn)移動(dòng)(1)試判斷四邊形PQEF的形狀，并證明；(2)PE是否總過(guò)某一定點(diǎn)并說(shuō)明理由；(3)四邊形PQEF的頂點(diǎn)位于何處時(shí)

6、，其面積有最大值和最小值最大值和最小值各是多少分析：(1)猜想四邊形PQEF為正方形，先證它為菱形，再證有一直角即可；(2)此問(wèn)是動(dòng)態(tài)問(wèn)題，緊緊抓住運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的不變量，即APCE，四邊形APCE為平行四邊形，易知PE與AC平分于點(diǎn)O；(3)此問(wèn)中顯然當(dāng)點(diǎn)P，Q，E，F(xiàn)分別運(yùn)動(dòng)至與正方形ABCD各頂點(diǎn)重合時(shí)面積最大，分析最小值時(shí)的情形可根據(jù)S正=PE2，而PE最小時(shí)是PE⊥AB，此時(shí)PE=BC解：(1)四邊形PQEF為正方形，證明如下：在

7、正方形ABCD中，∵AB=BC=CD=DA，AP=BQ=CE=DF，∴BP=QC=ED=FA又∵∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90，∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF∴FP=PQ=QE=EF，∠APF=∠PQB，∴∠FPQ=90∴四邊形PQEF為正方形(2)連接AC交PE于點(diǎn)O∵APEC，∴四邊形APCE為平行四邊形又∵O為對(duì)角線AC的中點(diǎn)，∴對(duì)角線PE總過(guò)AC的中點(diǎn)(3)當(dāng)P運(yùn)動(dòng)至與B重合時(shí)，四邊形PQEF面積最大，等于原正方

8、形面積，當(dāng)PE⊥AB時(shí)，四邊形PQEF的面積最小，等于原正方形面積的一半小結(jié)：小結(jié)：探索動(dòng)態(tài)問(wèn)題，解答的關(guān)鍵是抓住它不動(dòng)的一瞬間和運(yùn)動(dòng)中的不變量，即動(dòng)中求靜，這類題目是中考的熱點(diǎn)考題例3、如圖所示，在△ABC中，∠ACB=90，AC=2，BC=3，D是BC邊上一點(diǎn)，直線DE⊥BC于D，交AB于E，CFAB，交直線DE于F，設(shè)CD=x(1)當(dāng)x取何值時(shí)，四邊形EACF是菱形請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)當(dāng)x取何值時(shí)，四邊形EACD的面積等于2？分析：