初一.因式分解

1、26[文件]sxjsck0008.doc[科目]數(shù)學(xué)[關(guān)鍵詞]初一因式分解[標(biāo)題]因式分解[內(nèi)容]因式分解因式分解因式分解是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，具有一定的靈活性和技巧性，下面我們在初中教材已經(jīng)介紹過基本方法的基礎(chǔ)上，結(jié)合競賽再補充介紹添項、拆項法，待定系數(shù)法、換元法、對稱式的分解等有關(guān)內(nèi)容和方法.1.添項.拆項法添項、拆項的目的是在各項間制造公因式或便于利用公式分解因式，解題時要注意觀察分析題目的特點.例1（1986年揚州初

2、一數(shù)學(xué)競賽題）分解因式（1y）22x2(1y2)x4(1y)2解：原式=(1y)22(1y)x2(1y)x4(1y)22(1y)x2(1y)2x2(1y2)=[(1y)x2(1y)]22(1y)x2(1y)2x2(1y2)=[(1y)x2(1y)]2(2x)2=[(1y)x2(1y)2x][(1y)x2(1y)2x]=(x2x2y2xy1)(x2x2y2xy1)=[(x1)2y(x21)][(x1)2y(x21)]=(x1)(x1xyy

3、)(x1)(x1xyy)例2（第11屆國際數(shù)學(xué)競賽題）證明：具有如下性質(zhì)的自然數(shù)a有無窮多個，對于任意的自然數(shù)m.z=n4a都不是素數(shù).證明設(shè)a=4k4（k為大于1的自然數(shù)），則z=n4a=n44k4=n44n2k24k44n2k2=(n22k2)24n2k2=(n22k22nk)(n22k22nk)=[(nk)2k2][(nk)2k2].①∵k為大于1的自然數(shù)，∴(nk)2k2＞1(nk)2k2＞1故①的右邊兩個因子都大于1，故當(dāng)k＞

4、1時，z是合數(shù).由于大于1的自然數(shù)k有無窮多個，故有無窮多個自然數(shù)a，使n4a對一切自然數(shù)n總非素數(shù)2.待定系數(shù)法若兩多項式f(x)=g(x)，則它們同次的對應(yīng)項系數(shù)一定相等，利用這條結(jié)論可將某些因式分解的問題轉(zhuǎn)化為解方程組的問題來解決.例3分解因式3x25xy2y2x9y4.解由于3x25xy2y2=(3xy)(x2y)，故可設(shè)3x25xy2y2x9y4=(3xya)(x2yb)28分解.解∵x4y4=(xy)44x3y6x2y24x

5、y2=(xy)44xy(xy)22x2y2.∴原式=(xy)44xy(xy)22x2y2(xy)4=2(xy)44xy(xy)22x2y2=2[(xy)42xy(xy)2(xy)2]=2[(xy)2xy]22(x2y2xy)2例8分解因式a2(bc)b2(ca)c2(ab).此題中若將式中的b換成ac換成ba換成c即為c2(ab)a2(bc)b2(ca)原式不變這類多項式稱為關(guān)于a、b、c的輪換對稱式，輪換對稱式的因式分解，用因式定理及

6、待定系數(shù)法比較簡單，下面先粗略介紹一下因式定理，為了敘述方便先引入符號f(x)、f(a)如對一元多項式3x25x2可記作f(x)=3x25x2f(a)即表示當(dāng)x=a時多項式的值，如x=1時多項式3x25x2的值為f(1)=312512=4當(dāng)x=2時多項式3x25x2的值為f(2)=322522=0.因式定理如果x=a時多項式f(x)的值為零即f(a)=0則f(x)能被xa整除(即含有xa之因式).如多項式f(x)=3x25x2當(dāng)x=2時

7、f(2)=0即f(x)含有x2的因式事實上f(x)=3x25x2=(3x1)(x2).證明設(shè)f(x)=anxnan1xn1…a1xa0若f(a)=0則f(x)=f(x)f(a)=(anxnan1xn1…a1xa0)=(ananan1an1…a1aa0)=an(xnan)an1(xn1an1)…a1(xa)由于(xa)|(xnan)(xa)|(xn1an1)…(xa)|(xa)∴(xa)|f(x)對于多元多項式在使用因式定理時可以確定一個

8、主元而將其它的元看成確定的數(shù)來處理.現(xiàn)在我們用因式定理來解例8.解這是一個含有a、b、c三個字母的三次多項式，現(xiàn)以a為主元，設(shè)f(a)=a2(bc)b2(ca)c2(ab)易知當(dāng)a=b和a=c時，都有f(a)=0故ab和ac是多項式的因式，而視b為主元時，同理可知bc也是多項式的因式，而三次多項式至多有三個因式故可設(shè)a2(bc)b2(ca)c2(ab)=k(ab)(bc)(ca)其中k為待定系數(shù)，令a=0b=1c=1可得k=1.∴a2(

9、bc)b2(ca)c2(ab)=(ab)(bc)(ca).例9分解因式a3(bc)b3(ca)c3(ab).分析這是一個關(guān)于a、b、c的四次齊次輪換多項式，可用因式定理分解，易知abbcca是多項式的三個因式，而四次多項式還有一個因式，由輪換對稱性可知這個一次因式應(yīng)是abc，故可設(shè)a3(bc)b3(ca)c3(ab)=k(ab)(bc)(ca)(abc)（其中k為待定系數(shù)），取，a=0b=1c=1可得k=1所以原式=(ab)(bc)(c