微積分初步

1、數(shù)學(xué)補(bǔ)充知識(shí)A微積分初步1函數(shù)及其圖形一、函數(shù)、自變量和因變量一、函數(shù)、自變量和因變量1函數(shù)：如果有兩個(gè)相互聯(lián)系的變量和，每當(dāng)變量取定某個(gè)值以后，按照一定的規(guī)xyx律就可確定的對(duì)應(yīng)值，我們就稱(chēng)是的函數(shù)，記為yyx)(xfy?)(:)(xyyxyf?或間的對(duì)應(yīng)關(guān)系和表示是函數(shù)記號(hào)（1）同一問(wèn)題中遇見(jiàn)不同形式的函數(shù)時(shí)，可以用不同記號(hào)表示函數(shù)形式，例：)()(xx??（2）常見(jiàn)函數(shù)舉例：?axexxxcbxaxxxfyln2cos2123)(

2、2?????2自變量和因變量：：為自變量。的變化范圍：函數(shù)的定義域。xx：為因變量。所有取值范圍：函數(shù)的值域。yy物理學(xué)中函數(shù)與自變量視研究問(wèn)題而定。例：中可以有兩個(gè)變量；但若VnRTPV?一定時(shí)，；或。)(TPP???PTT?3常數(shù)：上例中：均為常數(shù)ecba22123?a絕對(duì)常數(shù)：（確定不變的數(shù)）e22123?b任意常數(shù)：等。任意常數(shù)需要通過(guò)具體問(wèn)題確定。常用確定方法：求斜率、cba截距的方法；非線性函數(shù)先進(jìn)行變量變換，線性化后求斜率

3、、截距的方法等。知道了函數(shù)的形式以后，即可確定與自變量任一特定值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。例：)(0xf。一般：時(shí)，1)(223)(??????xfxxxfy時(shí)若0xx?0023)(xxf??4以上所介紹的為一元函數(shù)，還有二元函數(shù)，多元函數(shù)。5復(fù)合函數(shù)：若：，則稱(chēng)是的復(fù)合函數(shù)，記為。Z稱(chēng)為)()(xgzzfy??yx)]([)(xgfxy???中間變量。例：簡(jiǎn)諧振動(dòng)，為中間變量，的復(fù)合函數(shù)。tAAx??coscos???tx是二、函數(shù)的圖形二、函數(shù)

4、的圖形圖形優(yōu)點(diǎn)：直觀了解一個(gè)函數(shù)的特征；通過(guò)作圖可以擬合物理規(guī)律。1平面中的曲線可以表示幾何學(xué)或物理學(xué)中兩變量間的函數(shù)關(guān)系2作圖方法：⑴逐點(diǎn)描跡的方法。①給一個(gè)值，求對(duì)應(yīng)的值，確定（）②x)(xfyx2導(dǎo)數(shù)一、極限：一、極限：1概念：當(dāng)變量無(wú)限趨近某一數(shù)值時(shí)，函數(shù)的數(shù)值無(wú)限趨近某x)(00xxx?)(xf一確定的數(shù)值，則叫做時(shí)函數(shù)的極限值，記為：aa0xx?)(xfaxfxx??)(lim0讀作：“當(dāng)時(shí)，的極限等于”。0xx?)(xfa

5、2特例：此例的目的在于說(shuō)明極限的意義：123)(2?????xxxxfy，根據(jù)中學(xué)知識(shí)知道，用0除以0，一般無(wú)意義。00)1(8)2(2)0(???fff而?232??xx1?x123)(2?????xxxxfy0.90.990.9990.99990.470.04970.049970.00499970.10.010.0010.00014.74.974.9974.99971.11.011.0011.00010.530.05030.0050

6、030.000500030.10.010.0010.00015.35.035.0035.0003由表可以看出時(shí)，。這一特例說(shuō)明了極限的概念。當(dāng)然，此題有更為1?x5)1(?f簡(jiǎn)單的方法，即：23)1()1)(23()(???????xxxxxfy5)1(?f5123lim)(lim211???????xxxxfxx二、物理學(xué)中極限的例子：二、物理學(xué)中極限的例子：1瞬時(shí)速度（率）（以直線運(yùn)動(dòng)為例）（1）平均速率：a一般公式：)()()()