圓錐曲線的光學性質(zhì)

1、圓錐曲線的光學性質(zhì)第1頁共9頁圓錐曲線光學性質(zhì)的證明及應用初探圓錐曲線光學性質(zhì)的證明及應用初探一、一、圓錐曲線的光學性質(zhì)圓錐曲線的光學性質(zhì)11橢圓的光學性質(zhì)：橢圓的光學性質(zhì)：從橢圓一個焦點發(fā)出的光，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的從橢圓一個焦點發(fā)出的光，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線都匯聚到橢圓的另一個焦點上；另一個焦點上；(見圖見圖1.1)1.1)橢圓的這種光學特性，常被用來設計一些照明設備或聚熱裝置例如在處放置一個熱源，那么1F紅外

2、線也能聚焦于處，對處的物體加熱。電影放映機的反光鏡也是這個原理。2F2F證明：由導數(shù)可得證明：由導數(shù)可得切線的斜率，而的斜率，的斜率l02020xxbxkyay?????1PF010ykxc??2PF020ykxc??∴到所成的角滿足，l1PF??????2002222220000012222001000200tan11ybxxcayaybxbcxkkbxykkabxyacyxcay???????????????在橢圓上，在橢圓上，∴，

3、同理，到所成的角滿足，???00Pxy20tanbcy???2PFl??2220tan1kkbkkcy??????∴，而，∴tantan?????02?????????????????12雙曲線的光學性質(zhì)雙曲線的光學性質(zhì)：從雙曲線一個焦點發(fā)出的光，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線：從雙曲線一個焦點發(fā)出的光，經(jīng)過雙曲線反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上；都匯聚到雙曲線的另一個焦點上；(見圖見圖1.2)1.2)雙

4、曲線這種反向虛聚焦性質(zhì)，在天文望遠鏡的設計等方面，也能找到實際應用13拋物線的光學性質(zhì)拋物線的光學性質(zhì)：從拋物線的焦點發(fā)出的光，經(jīng)過拋物線反射后，反射光線都平行于拋從拋物線的焦點發(fā)出的光，經(jīng)過拋物線反射后，反射光線都平行于拋物線的軸（如圖物線的軸（如圖1.31.3）拋物線這種聚焦特性，成為聚能裝置或定向發(fā)射裝置的最佳選擇例如探照燈、汽車大燈等反射鏡面的縱剖線是拋物線，把光源置于它的焦點處，經(jīng)鏡面反射后能成為平行光束，使照射距離加大，并可

5、通過轉(zhuǎn)動拋物線的對稱軸方向，控制照射方向衛(wèi)星通訊像碗一樣接收或發(fā)射天線，一般也是以拋物線繞對稱軸旋轉(zhuǎn)得到的，把接收器置于其焦點，拋物線的對稱軸跟蹤對準衛(wèi)星，這樣可以把衛(wèi)星發(fā)射的微弱電磁波訊號射線，最大限度地集中到接收器上，保證接收效果；反之，把發(fā)射裝置安裝在焦點，把對稱軸跟蹤對準衛(wèi)星，則可以使發(fā)射的電磁波訊號射線能平行地到達衛(wèi)星的接收裝置，同樣保證接收效果最常見的太陽能熱水器，它也是以拋物線鏡面聚集太陽光，以加熱焦點處的貯水器的?圖1.

6、3F2??F1圖1.2??AF1F2DO圖1.1B圓錐曲線的光學性質(zhì)第3頁共9頁證明：證明：由……①，22221yxba???2222(1)xyba??1當時，過點的切線斜率一定存在，且，xa??Pk0|xxky??∴對①式求導：，∴，∴切線方程2222byyxa?02020|xxbxkyay???為……②，200020()bxyyxxay????∵點在雙曲線上，故代入②得……③，00()Pxy22221xyab??2200221xya

7、b??00221xxyyab??而當時，切線方程為，也滿足③式，故是雙曲線過點xa??00y?xa??00221xxyyab??的切線方程.00()Pxy預備定理預備定理3.3.若點若點是拋物線是拋物線上任一點，則拋物線過該點的切線方程是上任一點，則拋物線過該點的切線方程是00()Pxy22ypx?00()yypxx??證明：證明：由，對求導得：，22ypx?x0022|xxpyypkyy?????當時，切線方程為，即，00y?00()

8、pyyxxy???2000yyypxpx???而………①，而當時，切線方程為也滿足①式，200002()ypxyypxx????0000yx??00x?故拋物線在該點的切線方程是.00()yypxx??定理定理1.1.橢圓上一個點橢圓上一個點的兩條焦半徑的夾角被橢圓在點的兩條焦半徑的夾角被橢圓在點處的法線平分處的法線平分（圖（圖2.12.1）PP已知：如圖，橢圓的方程為，分別是其左、右焦點，是過橢圓上一點C22221xyab??12FF