等差、等比數(shù)列性質(zhì)總結(jié)

1、等差數(shù)列性質(zhì)總結(jié)等差數(shù)列性質(zhì)總結(jié)1.1.等差數(shù)列的定義式：等差數(shù)列的定義式：（d為常數(shù)）為常數(shù)）（）；daann???12?n2等差數(shù)列通項(xiàng)公式：等差數(shù)列通項(xiàng)公式：，首項(xiàng)首項(xiàng):，公差，公差:d:d，末項(xiàng)，末項(xiàng):11(1)()naanddnadnN???????1ana推廣：推廣：從而從而；dmnaamn)(???mnaadmn???3等差中項(xiàng)等差中項(xiàng)（1）如果）如果，，成等差數(shù)列，那么成等差數(shù)列，那么叫做叫做與的等差中項(xiàng)即：的等差中項(xiàng)即

2、：或aAbAab2baA??baA??2（2）等差中項(xiàng)：數(shù)列）等差中項(xiàng)：數(shù)列是等差數(shù)列是等差數(shù)列??na112(2nN)nnnaaan??????212?????nnnaaa4等差數(shù)列的前等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：項(xiàng)和公式：1()2nnnaaS??1(1)2nnnad???211()22dnadn???2AnBn??（其中（其中A、B是常數(shù)，所以是常數(shù)，所以當(dāng)d≠0d≠0時(shí)，時(shí)，Sn是關(guān)于是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項(xiàng)為的二次式且常數(shù)項(xiàng)為0）特

3、別地，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)特別地，當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，時(shí)，是項(xiàng)數(shù)為是項(xiàng)數(shù)為2n12n1的等差數(shù)列的中間項(xiàng)的等差數(shù)列的中間項(xiàng)21n?1na?（項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列的各項(xiàng)和等于項(xiàng)數(shù)乘以中間（項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)的等差數(shù)列的各項(xiàng)和等于項(xiàng)數(shù)乘以中間??????12121121212nnnnaaSna????????項(xiàng)）項(xiàng)）5等差數(shù)列的判定方法等差數(shù)列的判定方法（1）定義法：若定義法：若或(常數(shù)常數(shù))是等差數(shù)列是等差數(shù)列daann???1daann???1??Nn??

4、?na（2）等差中項(xiàng)：數(shù)列等差中項(xiàng)：數(shù)列是等差數(shù)列是等差數(shù)列??na)2(211?????naaannn212?????nnnaaa⑶數(shù)列數(shù)列是等差數(shù)列是等差數(shù)列（其中（其中是常數(shù)）。是常數(shù)）。??na?bknan??bk（4）數(shù)列數(shù)列是等差數(shù)列是等差數(shù)列（其中（其中A、B是常數(shù)）。是常數(shù)）。??na?2nSAnBn??6等差數(shù)列的證明方法等差數(shù)列的證明方法定義法：若定義法：若或(常數(shù)常數(shù))是等差數(shù)列是等差數(shù)列daann???1daan

5、n???1??Nn???na等差中項(xiàng)性質(zhì)法：等差中項(xiàng)性質(zhì)法：112(2n)nnnaaanN??????，7.7.提醒提醒：（1）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前）等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前和公式中，涉及到和公式中，涉及到5個(gè)元素：個(gè)元素：、、、及，其中，其中n1adnnanS、稱作為基本元素。只要已知這稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知個(gè)，即知3求2。1ad（2）設(shè)項(xiàng)技巧：）設(shè)項(xiàng)技巧：

6、①一般可設(shè)通項(xiàng)一般可設(shè)通項(xiàng)1(1)naand???②奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為奇數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為…，…（公差為（公差為）；22adadaadad????d③偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為偶數(shù)個(gè)數(shù)成等差，可設(shè)為…，……（注意；公差為（注意；公差為2）33adadadad????d8.8.等差數(shù)列的性質(zhì)：等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）當(dāng)公差）當(dāng)公差時(shí)，時(shí)，0d?等差數(shù)列的通項(xiàng)公式等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于是關(guān)于的一次函數(shù)，且斜率為公差的一次函數(shù)，且斜率為公差

7、；11(1)naanddnad??????nd前和是關(guān)于是關(guān)于的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為的二次函數(shù)且常數(shù)項(xiàng)為0.0.n211(1)()222nnnddSnadnan??????n（2）若公差）若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞增等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若公差，則為遞減等差數(shù)列，若公差，則，則0d?0d?0d?為常數(shù)列。為常數(shù)列。（3）當(dāng)）當(dāng)時(shí)則有則有，特別地，當(dāng)，特別地，當(dāng)時(shí)，則有時(shí)，則有.mnpq???qpnmaaaa??

8、?2mnp??2mnpaaa??注：注：，12132nnnaaaaaa???????????（4）若）若、為等差數(shù)列，則為等差數(shù)列，則都為等差數(shù)列都為等差數(shù)列??na??nb????12nnnabab?????，等比數(shù)列性質(zhì)等比數(shù)列性質(zhì)1.1.等比數(shù)列的定義：等比數(shù)列的定義：，稱為公比稱為公比????12nnaqqnnNa?????0且q2.2.通項(xiàng)公式：通項(xiàng)公式：，首項(xiàng)：首項(xiàng)：；公比：；公比：??111100nnnnaaaqqABaq

9、ABq?????????1aq推廣：推廣：，從而得從而得nmnmaaq??nmnmaqa??3.3.等比中項(xiàng)等比中項(xiàng)（1）如果）如果成等比數(shù)列，那么成等比數(shù)列，那么叫做叫做與的等差中項(xiàng)即：的等差中項(xiàng)即：或aAbAab2Aab?Aab??注意：同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng)，并且它們的等比中項(xiàng)有兩個(gè)（兩個(gè)等比中項(xiàng)互為相反數(shù)）注意：同號(hào)的兩個(gè)數(shù)才有等比中項(xiàng)，并且它們的等比中項(xiàng)有兩個(gè)（兩個(gè)等比中項(xiàng)互為相反數(shù)）（2）數(shù)列）數(shù)列是等比數(shù)列是等比數(shù)列??

10、na?211nnnaaa????4.4.等比數(shù)列的前等比數(shù)列的前n項(xiàng)和項(xiàng)和公式：公式：nS(1)(1)當(dāng)時(shí)，時(shí)，1q?1nSna?(2)(2)當(dāng)時(shí)，時(shí)，1q???11111nnnaqaaqSqq??????（為常數(shù)）為常數(shù)）1111nnnaaqAABABAqq?????????ABAB5.5.等比數(shù)列的判定方法等比數(shù)列的判定方法（1）用定義：對(duì)任意的）用定義：對(duì)任意的nn都有都有為等比數(shù)列為等比數(shù)列11(0)nnnnnaaqaqqaa?

11、????或?yàn)槌?shù)，?na（2）等比中項(xiàng)：等比中項(xiàng)：（0）為等比數(shù)列為等比數(shù)列211nnnaaa???11nnaa????na（3）通項(xiàng)公式：通項(xiàng)公式：為等比數(shù)列為等比數(shù)列??0nnaABAB?????na（4）前n項(xiàng)和公式：項(xiàng)和公式：為等比數(shù)列為等比數(shù)列??nnnnSAABSABAABAB?????或?yàn)槌?shù)?na6.6.等比數(shù)列的證明方法等比數(shù)列的證明方法依據(jù)定義：若依據(jù)定義：若或?yàn)榈缺葦?shù)列為等比數(shù)列????12nnaqqnnNa???

12、??0且1nnaqa???na7.7.注意注意（1）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前和公式中，涉及到和公式中，涉及到5個(gè)元素：個(gè)元素：、、、及，其中，其中、n1aqnnanS1a稱作為基本元素。只要已知這稱作為基本元素。只要已知這5個(gè)元素中的任意個(gè)元素中的任意3個(gè)，便可求出其余個(gè)，便可求出其余2個(gè)，即知個(gè)，即知3求2。q（2）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)項(xiàng)的技巧，一般可設(shè)為通項(xiàng)；）為減少運(yùn)算量，要注意設(shè)項(xiàng)的技巧，一般可設(shè)為通項(xiàng)；