[學(xué)習(xí)]概率統(tǒng)計(jì)課件ch5大數(shù)定律、中心極限定理

1、5.1 大數(shù)定律5.2 中心極限定理,第五章 大數(shù)定律與中心極限定理,5.1 大數(shù)定律,事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，即隨著試 驗(yàn)次數(shù)的增加，事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn) 定于某個(gè)常數(shù)。,一、大數(shù)定律引入的客觀背景,,字母使用頻率,生產(chǎn)過程中的廢品率,……,大量測(cè)量值的算術(shù)平均值也具有穩(wěn)定性,二、頻率的穩(wěn)定性的實(shí)質(zhì),或,有,頻率依概率收斂于概率,設(shè) 是n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)， p是每次試驗(yàn)中事件

2、A發(fā)生的概率，則對(duì)任 給的ε> 0，,定理1（貝努里大數(shù)定律）,或,貝努里,三、貝努里大數(shù)定律,證明貝努里大數(shù)定律主要的數(shù)學(xué)工具是切比雪夫不等式.,設(shè)隨機(jī)變量X有期望E(X)和方差 ，則對(duì)于任給 >0,,貝努里大數(shù)定律表明：當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率μn /n與事件A的概率p有較大偏差的概率很小.,貝努里大數(shù)定律提供了通過試驗(yàn)來確定 事 件概率的方法.,蒲豐投針

3、問題中解法的理論依據(jù)就是大數(shù)定律,當(dāng)投針次數(shù)n很大時(shí)，用針與線相交的頻率m/n近似針與線相交的概率p，從而求得π的近似值.,針長(zhǎng)L,線距a,思考 ：用蒙特卡洛方法如何計(jì)算定積分？（隨機(jī)投點(diǎn)法） 設(shè)0?f(x)?1,求定積分,如何計(jì)算[a,b]上的定積分呢？,四、 常用的幾個(gè)大數(shù)定律,1.大數(shù)定律的一般形式,定義 設(shè)有一隨機(jī)變量序列{Xn},如果對(duì)任 給的ε> 0，,則稱隨機(jī)變量序列{Xn}服從大數(shù)

4、定律,定理2（切比雪夫大數(shù)定律）,設(shè) X1,X2, …是一列兩兩不相關(guān)的隨機(jī)變量序列，它們都有有限的方差，并且方差有共同的上界，即 Var(Xi) ≤c，i=1,2, …，則對(duì)任意的ε>0，,切比雪夫,,2.切比雪夫大數(shù)定律,不再是隨機(jī)的了，取值接近于其數(shù)學(xué)期望的概率接近于1.,即當(dāng)n充分大時(shí)，,差不多,切比雪夫大數(shù)定律給出了平均值穩(wěn)定性的科學(xué)描述,注：,（2）切比雪夫大數(shù)定律只要求{Xn}互不相關(guān)，并不要求同分布.當(dāng){Xn}

5、獨(dú)立同分布，且方差有限時(shí)， {Xn}必定服從大數(shù)定律.即得以下定理3.,定理3（切比雪夫大數(shù)定律的特殊情況）,設(shè)X1,X2, …是獨(dú)立且具有相同的期望和方差的隨機(jī)變量序列，即E(Xi)= ，D(Xi)= ， i=1,2,…,則對(duì)任給 >0,,注：貝努里大數(shù)定律是定理3的特特情況.,事實(shí)上，設(shè)μn是n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā) 生次數(shù), P是事件A發(fā)生的概率，,引入,i=1,2,…,n,是事件A發(fā)生的頻率，,3.

6、馬爾可夫大數(shù)定律,對(duì)隨機(jī)變量序列{Xn},若,定理4,則隨機(jī)變量序列{Xn}服從大數(shù)定律，即對(duì)任意的ε>0，有,馬爾可夫條件,注:(1)馬爾可夫大數(shù)定律的條件較弱.它沒有獨(dú)立性、不相關(guān)、同分布的假定，容易滿足。(2)切比雪夫大數(shù)定律可由馬爾可夫大數(shù)定律推出.,4.辛欽大數(shù)定律,設(shè)隨機(jī)變量序列X1,X2, …獨(dú)立同分布，具有有限的數(shù)學(xué)期E(Xi)=μ, i=1,2,…， 則對(duì)任給ε >0 ，,定理5（辛欽大數(shù)定律）,辛

7、欽,辛欽大數(shù)定律不要求隨機(jī)變量的方差存在.,注:,辛欽大數(shù)定律為尋找隨機(jī)變量的期望值 提供了一條實(shí)際可行的途徑.,例如要估計(jì)某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量，要收割某些有代表性的地塊，例如n 塊. 計(jì)算其平均畝產(chǎn)量，則當(dāng)n 較大時(shí)，可用它作為整個(gè)地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個(gè)估計(jì).,用蒙特卡洛方法計(jì)算定積分（平均值法）,求,的值,例,因此，當(dāng)n充分大時(shí)，,計(jì)算原理：,設(shè)X~U(0, 1),由大數(shù)定律,均值法步驟：,1) 產(chǎn)生在(0,1)上均勻分布的隨

8、機(jī)數(shù)xi,,2) 計(jì)算f(xi)， n=1,2,…,N,n=1,2,…,N,即,3) 用平均值近似積分值,應(yīng)如何近似計(jì)算？請(qǐng)思考.,問：若用上述方法求,大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了隨機(jī)現(xiàn)象最根本的性質(zhì)之一：,它是隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的具體表現(xiàn).,大數(shù)定律在理論和實(shí)際中都有廣泛的應(yīng)用.,平均結(jié)果的穩(wěn)定性,(一） 依概率收斂的定義定義 設(shè)隨機(jī)變量序列Y1，Y2，Y3，…，a是一常數(shù)，若對(duì)于任意正數(shù)ε，有：,五、隨機(jī)變量序列的依概率收斂,

9、則稱隨機(jī)變量序列{Yn}依概率收斂于a 記為,（二） 依概率收斂的性質(zhì),見教材P145-146,補(bǔ)充性質(zhì)：設(shè)隨機(jī)變量序列 ，f(x)為直線上的連續(xù)函數(shù)， 則,5.2 中心極限定理,（一）中心極限定理引入的客觀背景,在實(shí)際問題中，常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生總影響.,,,,例如：炮彈射擊的落點(diǎn)與目標(biāo)的偏差，就受著許多隨機(jī)因素的影響.,如瞄準(zhǔn)時(shí)的誤差、空氣阻力所產(chǎn)生的誤差、炮彈或炮身結(jié)構(gòu)所引起的誤

10、差等等.,,,,這些隨機(jī)因素的總影響可表示成獨(dú)立隨機(jī)變量之和,,,當(dāng)n無限增大時(shí)，這個(gè)和的極限分布是什么？,觀察表明，如果一個(gè)量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響所造成，而每一個(gè)別因素在總影響中所起的作用不大. 則這種量(隨機(jī)變量的和）一般都服從或近似服從正態(tài)分布.,總之，在客觀實(shí)際中有許多隨機(jī)變量，它們是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的綜合影響所形成的，而其中每一個(gè)因素在總的影響中所起的作用都是微小的，這種隨機(jī)變量往往近似地服從正態(tài)分布

11、。這種隨機(jī)變量可以表示成相互獨(dú)立的隨機(jī)變量的和，中心極限定理將研究這種和當(dāng) 時(shí)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。,為方便起見，研究n個(gè)隨機(jī)變量之和的標(biāo)準(zhǔn)化的隨機(jī)變量,的分布函數(shù)的極限.,的分布函數(shù)的極限.,可以證明，滿足一定的條件，上述極限分布是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.,考慮,中心極限定理,(二)獨(dú)立同分布的中心極限定理（林德貝爾格—勒維（lindeberg—levy）極限定理）,[教材p147定理四] 若X1,X2,…是一列獨(dú)立同分布的隨機(jī)變

12、量，且EXi=μ,Var(Xi)=σ2（σ2>0）,i=1,2,…, 則對(duì)任給的實(shí)數(shù)y,有,例 根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某種電器元件的壽命服從均值為100小時(shí)的指數(shù)分布. 現(xiàn)隨機(jī)地取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的. 求這16只元件的壽命的總和大于1920小時(shí)的概率.,由題給條件知，諸Xi獨(dú)立，,16只元件的壽命的總和為,解: 設(shè)第i只元件的壽命為Xi , i=1,2, …,16,E(Xi)=100, Var(Xi)=10000,依

13、題意，所求為P(Y>1920),由于E(Y)=1600,,Var(Y)=160000,由中心極限定理,,近似服從N（0，1）,P(Y>1920)=1-P(Y?1920),=1-?(0.8),?1-,=1-0.7881=0.2119,(三)德莫佛—拉普拉斯（de Moirre-Laplace）極限定理,[教材P150定理六] 設(shè)μn是n重貝努里試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)，又A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為p(0<p<1