第五章 大數(shù)定理與中心極限定理

1、2009智軒考研數(shù)學(xué)創(chuàng)高分紅寶書系列概率論與數(shù)理統(tǒng)計131第五章大數(shù)定理與中心極限定理■考試內(nèi)容切比雪夫（Chebyshev）不等式切比雪夫大數(shù)定律伯努利（Bernoulli）大數(shù)定律辛欽（Khinchine）大數(shù)定律棣莫弗—拉普拉斯（DeMoivre—Laplace）定理列維—林德伯格（Levy—Lindberg）定理■考試要求1了解切比雪夫不等式。2了解切比雪夫大數(shù)定律、伯努利大數(shù)定律和辛欽大數(shù)定律（獨立同分布隨機變量序列的大數(shù)定律

2、）3了解棣莫弗—拉普拉斯定理（二項分布以正態(tài)分布為極限分布）和列維—林德伯格定理（獨立同分布隨機變量序列的中心極限定理）本章導(dǎo)讀3大均2中和1不等（3個大數(shù)定理、2個中心極限定理和一個不等式）。一、切貝雪夫不等式1.1切貝雪夫不等式及其應(yīng)用范圍如果不知道屬于何種分布，只要和存在，就可以估算出以為中心的對X??EX()DX??EX稱區(qū)間上取值的概率。即：則任給有0??或2()()DXPXEX?????2()()1DXPXEX??????●

3、證明：由積分比較定理可知：????????????????????????????222()()22()222()()()()1()()1xEXxEXxEXDXxEXfxdxxEXfxdxfxdxfxdxPXEXDXPXEXDXDXPXEXPXEX?????????????????????????????????????????????????1.2依概率收斂的定義設(shè)a是一個常數(shù)，為一隨機變量序列，或，nX01nPXa????????0

4、nPXa????2009智軒考研數(shù)學(xué)創(chuàng)高分紅寶書系列概率論與數(shù)理統(tǒng)計1332.3伯努利大數(shù)定理設(shè)是次獨立重復(fù)試驗中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A在每次試驗中發(fā)生的概率，則AYn，有0???或lim1AnYPpn????????????lim0AnYPpn????????????評注1，服從同一分布；12...AnYXXX????12...nXXX??01?2當(dāng)很大（一般要求大于45）時，事件發(fā)生的頻率具有穩(wěn)定性，且逼近于其概nAYn率，這

5、也是為什么在實際應(yīng)用中，常用頻率來代替事件發(fā)生概率的原因。3它本質(zhì)上是離散情形下的辛欽大數(shù)定理。陳氏第8技3個大數(shù)定理的應(yīng)用選擇方法大數(shù)定理提供了算術(shù)平均代替加權(quán)平均的理論根據(jù)，適應(yīng)于事件發(fā)生的平均值依概率收斂情形。如果能已知，都存在，則使用切比雪夫大數(shù)定理；如果僅知道存在，而未EXDXEX知是否存在，則使用辛欽大數(shù)定理；如果是伯努利試驗，則使用伯努利大數(shù)定理。DX三、中心極限定理●中心極限的應(yīng)用范圍：獨立同分布；????12145…n