大數(shù)定律與中心極限定理

1、§5.1,5.4 大數(shù)定律與中心極限定理,一、依概率收斂,定義,則稱(chēng)隨機(jī)變量序列,是一列隨機(jī)變量,,設(shè),恒有,如果對(duì)任何,依概率收斂到X,記作,,或,,,恒有,對(duì)任何,,恒有,對(duì)任何,二、大數(shù)定律,頻率的穩(wěn)定性:,在一次試驗(yàn)中,,但若進(jìn)行大量的重復(fù)試驗(yàn),,事件,可能發(fā)生,也可能不發(fā)生,,則事件A發(fā)生的頻率:,次試驗(yàn)中,,發(fā)生的次數(shù),試驗(yàn)的總次數(shù),就與一常數(shù) 靠近,,且隨著試驗(yàn)次數(shù) 的增大,,頻率,逐漸地穩(wěn)定在常數(shù) 附近.

2、,設(shè)在n重貝努利試驗(yàn)中，,事件A發(fā)生的次數(shù)為X,則事件A在n次試驗(yàn)中,發(fā)生的頻率為,X與,都是隨機(jī)變量.,隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，,事件A發(fā)生的頻率,逐漸穩(wěn)定在,即,,即,即,定理,（貝努利大數(shù)定律）,常數(shù) 附近.,定理,設(shè)隨機(jī)變量序列,（切比雪夫大數(shù)定律）,兩兩不相關(guān),,均存在，,存在與n無(wú)關(guān)的常數(shù)C,,使得,有,則對(duì)任何,它們的,數(shù)學(xué)期望,與方差,且方差有界，,即,說(shuō)明:,的算術(shù)平均值為,個(gè)隨機(jī)變量,也是隨機(jī)變量,,在定理的條件下,,

3、對(duì)任,即,,這表明,,在定理的條件下,,有,對(duì)任何,只要n充分大,,盡管n個(gè)隨機(jī)變量各有,但其算術(shù)平均的取值,較密集地集中在,其數(shù)學(xué)期望附近.,各的分布,,的隨機(jī)變量序列,,說(shuō)明:,概率意義下,,故大量隨機(jī)變量的平均值,幾乎不再是,同分布,推論,(辛欽大數(shù)定律),設(shè),為獨(dú)立,,存在,有,則對(duì)任何,即,,在定理的條件下,,當(dāng)n充分大時(shí),,的平均值,隨機(jī)變量,在,其數(shù)學(xué)期望.,隨機(jī)變量.,獨(dú)立、,分布的,會(huì)充分接近,同,三、中心極限定理,定

4、理,設(shè)隨機(jī)變量序列,有,(獨(dú)立同分布,相互獨(dú)立,,同分布,,且數(shù)學(xué)期望和方差,都存在:,則對(duì)一切 ,,因此，,當(dāng)隨機(jī)變量序列,滿(mǎn)足定理,的條件時(shí)，,上述等式成立，,故當(dāng)n充分大時(shí)，,可用,近似計(jì)算有關(guān)概率.,中心極限定理),由極限,當(dāng)n充分大時(shí),有,,當(dāng)隨機(jī)變量序列,滿(mǎn)足定理,的條件時(shí),,無(wú)論,只要它們,(2)服從同樣的分布;,(3)期望和方差都存在;,則當(dāng)n充分大時(shí),,的有關(guān)概率.,服從什么分布,,都可以利用,來(lái)計(jì)算隨機(jī)變量,(1)

5、 相互獨(dú)立;,(4)方差不等于0.,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,例,標(biāo)準(zhǔn)差為10克,,一箱內(nèi)裝有200袋,凈重大于20500克的概率.,用機(jī)器包裝味精,,每袋味精的凈重,期望值為100克,,求一箱味精,解,設(shè)箱內(nèi)第 袋味精,的凈重為,獨(dú)立,,同分布;,味精,,為隨機(jī)變量,,克.,解,設(shè)箱內(nèi)第 袋味精,的凈重為 克,獨(dú)立,,同分布;,近似,,由,近似,,當(dāng) 充分大時(shí),,近似,,近似,,在定理的條件下，,( 棣莫佛 – 拉普拉斯定理 ),設(shè)隨機(jī)變

6、量,證,則,定理,則對(duì)一切,有,設(shè)隨機(jī)變量,相互獨(dú)立,,都服從,0—1分布,,( 棣莫佛 – 拉普拉斯定理 ),設(shè)隨機(jī)變量,定理3.12,則對(duì)一切,有,此時(shí)，,當(dāng) 充分大時(shí),,,( 棣莫佛 – 拉普拉斯定理 ),設(shè)隨機(jī)變量,定理3.12,則對(duì)一切,有,此時(shí)，,當(dāng) 充分大時(shí),,近似,,近似,,二項(xiàng)分布,,正態(tài)分布,有10000盞燈,,設(shè)電路供電網(wǎng)中,例,夜晚每一盞燈,都是0.7，,假定各燈開(kāi)關(guān)時(shí)間彼此無(wú)關(guān),,計(jì)算,同時(shí)開(kāi)著的燈數(shù),在6

7、800與7200之間,開(kāi)著的概率,的概率.,解,設(shè)同時(shí)開(kāi)著的燈數(shù)為,1)10000盞燈,2)每盞燈或開(kāi)或不開(kāi).,3)每盞燈開(kāi)的概率都是,4)各盞燈是否開(kāi)互不影響,,有10000盞燈,,設(shè)電路供電網(wǎng)中,例,夜晚每一盞燈,都是0.7，,假定各燈開(kāi)關(guān)時(shí)間彼此無(wú)關(guān),,計(jì)算,同時(shí)開(kāi)著的燈數(shù),在6800與7200之間,開(kāi)著的概率,的概率.,解,設(shè)同時(shí)開(kāi)著的燈數(shù)為,在第二章中，,究竟以哪個(gè)分布,二項(xiàng)分布,,泊松分布,二項(xiàng)分布,,正態(tài)分布,一般說(shuō)來(lái)，,