[學(xué)習(xí)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)ppt課件第五章大數(shù)定律及中心極限定理

1、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的學(xué)科. 隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)才會(huì)呈現(xiàn)出來.也就是說，要從隨機(jī)現(xiàn)象中去尋求必然的法則，應(yīng)該研究大量隨機(jī)現(xiàn)象.,第五章 大數(shù)定律及中心極限定理,大量的隨機(jī)現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性,大數(shù)律的客觀背景,大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率,……,,研究大量的隨機(jī)現(xiàn)象，常常采用極限形式，由此導(dǎo)致對(duì)極限定理進(jìn)行研究. 極限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的有兩種:,,下面先介紹大數(shù)定律,下面

2、的大數(shù)定律將(2.1)進(jìn)行了推廣.,§5.2 大數(shù)律,,稱隨機(jī)變量的序列為隨機(jī)序列(random sequence).,其含義是n很大時(shí), 與 有非零差距的可能性很小。,則稱序列 依概率收斂于 . 記為,定義 2.1 設(shè) 是隨機(jī)序列， 是隨機(jī)變量，如果對(duì)任意的? ?0，有,通常把類似于2.5的結(jié)論稱為弱大數(shù)律(weak law of large numbers).,由切比雪夫

3、不等式得：,證明：,例1（接§4.1 的例1.4 )在賭對(duì)子時(shí), 甲每次下注100元. 如果他連續(xù)下注n次, 證明他的盈利Sn滿足,證明： 用Xi表示甲第i次下注的盈利, 則X1,X2,…, Xn獨(dú)立同分布. 由§4.1的例1.4知 =EXi=-18.6, Sn=X1+X2+…+Xn. 利用,和定理2.1得到, n 時(shí)，,P(Sn > ?18n) P(|

4、? μ| > 0.6),于是，,P(Sn ?18n) = 1 ? P(Sn > ?18n) 1.,說明下注的次數(shù)n越多, 至少輸18n元的概率越大。,類似于(2.6)的結(jié)果稱為強(qiáng)大數(shù)律(strong law of large numbers). 從強(qiáng)大數(shù)律結(jié)論(2.6)知道概率的頻率定義是合理的。,,定理 2.3 如果 wp1. 則,強(qiáng)大數(shù)律結(jié)論比弱大數(shù)律結(jié)論要強(qiáng):,證明：設(shè)

5、p是任意小的正數(shù), 事件A1, A2…相互獨(dú)立, P(Ai)=p. 用 I[Ai] 表示Ai的示性函數(shù), 則 I[Ai] 獨(dú)立同分布.由強(qiáng)大數(shù)律得到,所以,說明有無窮個(gè)Ai發(fā)生的概率是1.,觀察表明，如果一個(gè)量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的綜合影響所造成，而每一個(gè)別因素在總影響中所起的作用都是微小的.則這種量一般都服從或近似服從正態(tài)分布.,該結(jié)論得益于高斯對(duì)測(cè)量誤差分布的研究.,中心極限定理的客觀背景,,§5.3 中

6、心極限定理,強(qiáng)大數(shù)律和弱大數(shù)律分別討論了隨機(jī)序列部分和的依概率收斂和以概率1收斂.,中心極限定理討論對(duì)充分大的n, 隨機(jī)變量序列部分和 X1+X2+… +Xn 的概率分布問題.,則Sn為n次獨(dú)立試驗(yàn)中成功的次數(shù),Sn ~ B(n,p)。,時(shí),Sn的分布形狀很象正態(tài)分布。,例3: 二項(xiàng)分布,獨(dú)立地重復(fù)某一試驗(yàn)，設(shè),,時(shí),Sn的分布形狀很象正態(tài)分布。,若{Xj} iid P( ), 則由§3.4 的例4.1知道部分和,例

7、4: Poisson(泊松)分布,例5: 幾何分布部分和 設(shè) {Xj｝獨(dú)立同分布都服從幾何分布,時(shí),Sn的分布形狀很象正態(tài)分布。,從演示看出 時(shí),Sn的分布形狀很象正態(tài)分布。,我們把結(jié)論(3.2)記成 , 其中的d表示依分布收斂.,中心極限定理是概率論中最著名的結(jié)果之一，它不僅提供了計(jì)算獨(dú)立隨機(jī)變量之和的近似概率的簡單方法，而且有助于解釋為什么很多自然群體的經(jīng)驗(yàn)

8、頻率呈現(xiàn)出鐘形曲線這一值得注意的事實(shí).,,,,在一般情況下很難求出n個(gè)隨機(jī)變量之和 的分布函數(shù)，定理3.1表明:當(dāng)n充分大時(shí),可以通過 給出其近似的分布.,因此可以利用正態(tài)分布對(duì) 作理論分析或作實(shí)際計(jì)算.,推論3.2.,在定理3.1的條件下，對(duì)充分大的n ，部分和Sn =X1＋ X2＋…＋ Xn, 的概率分布可以用正態(tài)分布,近似.,,中心極限定理的應(yīng)用: 可以用N(0,1)近似計(jì)算關(guān)于 的概

9、率，用N(n? , n? 2) 近似計(jì)算關(guān)于Sn的概率。,例6: 近似計(jì)算,當(dāng)輻射的強(qiáng)度超過每小時(shí)0.5毫倫琴(mr)時(shí), 輻射會(huì)對(duì)人的健康造成傷害. 設(shè)一臺(tái)彩電工作時(shí)的平均輻射強(qiáng)度是0.036(mr/h), 方差是0.0081. 則家庭中一臺(tái)彩電的輻射一般不會(huì)對(duì)人造成健康傷害. 但是彩電銷售店同時(shí)有多臺(tái)彩電同時(shí)工作時(shí), 輻射可能對(duì)人造成健康傷害. 現(xiàn)在有16臺(tái)彩電同時(shí)工作, 問這16臺(tái)彩電的輻射量可以對(duì)人造成健康傷害的概率

10、.,例6: 近似計(jì)算,解: 用Xi表示第i臺(tái)彩電的輻射量(mr/h),則Xi的數(shù)學(xué)期望是? =0.036, 方差是 =0.0081. Sn=X1+X2+… +X16是n=16臺(tái)彩電的輻射量. 題目要求P(Sn > 0.5). 認(rèn)為{Xi}獨(dú)立同分布時(shí), 按照定理3.1,,近似服從N(0,1)分布, 于是,例6: 近似計(jì)算(續(xù)),這16臺(tái)彩電以大約58%的概率會(huì)對(duì)人造成健康傷害.,例7 一加法器同時(shí)收

11、到20個(gè)噪聲電壓 ，設(shè)它們是互相獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都在區(qū)間(0,10)上服從均勻分布，記,二項(xiàng)分布的正態(tài)近似,推論3.3.設(shè)Sn ～ B(n,p), p=1-q ∈ (0,1), 則,由定理3.1結(jié)論成立,,例9 某單位有200臺(tái)電話分機(jī)，每臺(tái)分機(jī)有5%的時(shí)間要使用外線通話。假定每臺(tái)分機(jī)是否使用外線是相互獨(dú)立的，問該單位總機(jī)要安裝多少條外線，才能以90%以上的概率保證分機(jī)用外線時(shí)不等待？,解：設(shè)有Sn部分機(jī)同時(shí)

12、使用外線，則有,設(shè)有N條外線。,由推論3.3得,由題意有,,例9 （續(xù)）,例10. 用正態(tài)分布計(jì)算二項(xiàng)分布,設(shè)Sn ～B(n,p), 則Sn近似 N(np, npq)分布, 設(shè)X ～N(np,npq), 設(shè)a, b為非負(fù)整數(shù)。由中心極限定理, n 較大時(shí),但是注意Sn是取整數(shù)值的，所以,上式右端用正態(tài)近似和(*)不同。,例10.(續(xù)),為此取折衷，令,稱為連續(xù)性校正。此近似公式應(yīng)在 n 充分大時(shí)使用，實(shí)際規(guī)則可以用 min(

13、np,nq)>5。,例10.(續(xù)),特別地，,某藥廠試制了一種新藥, 聲稱對(duì)貧血的治療有效率達(dá)到80%. 醫(yī)藥監(jiān)管部門準(zhǔn)備對(duì)100個(gè)貧血患者進(jìn)行此藥的療效試驗(yàn),若這100人中至少有75人用藥有效, 就批準(zhǔn)此藥的生產(chǎn). 如果該藥的有效率確實(shí)達(dá)到 80%, 此藥被批準(zhǔn)生產(chǎn)的概率是多少?,解:用 Sn表示這n (=100)個(gè)患者中用藥后有效的人數(shù). 如果該藥的有效率確實(shí)是 p=80%, 則 Sn ～B(n,p). 由 100p=80