[教育]振動(dòng)理論及其運(yùn)用第4章連續(xù)系統(tǒng)-弦桿梁

1、第4章 連續(xù)系統(tǒng),振 動(dòng) 理 論 及 其 應(yīng) 用,4.1 引言,4.2 弦振動(dòng),4.3 桿的縱向振動(dòng),4.4 桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng),4.5 梁的橫向振動(dòng),4.6 薄板的橫向振動(dòng),4.7 展開(kāi)定理,4.8 瑞利商,4.9 響應(yīng)分析,4.10 有限元法簡(jiǎn)介,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 1 引言,力學(xué)模型的組成,連續(xù)系統(tǒng)的力學(xué)模型由具由分布質(zhì)量、分布彈性和分布阻尼元件組成。,連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)的關(guān)系,連續(xù)系統(tǒng),離散系統(tǒng),,

2、,簡(jiǎn)化、離散化,自由度n 趨向于無(wú)窮,連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)的區(qū)別,連續(xù)系統(tǒng),離散系統(tǒng),自由度,連續(xù)系統(tǒng)與離散系統(tǒng)是同一物理系統(tǒng)的兩個(gè)數(shù)學(xué)模型。,描述系統(tǒng)的變量,有限個(gè),無(wú)窮多個(gè),時(shí)間,時(shí)間和空間位置,微分方程,二階常微分方程組,偏微分方程組,方程消去時(shí)間變量后,代數(shù)方程組,微分方程的邊值問(wèn)題,概述,任何機(jī)器的零部件都是由質(zhì)量和剛度連續(xù)分布的物體所組成的，也就是說(shuō)這些零部件都是彈性體（連續(xù)系統(tǒng)continuous system）。但是在很多

3、情況下，為了使問(wèn)題簡(jiǎn)化，計(jì)算簡(jiǎn)便，常常將它們簡(jiǎn)化成多自由度的離散系統(tǒng)來(lái)分析。然而，在有些工程實(shí)踐中，卻要求對(duì)彈性體振動(dòng)作嚴(yán)密的分析，這時(shí)就不能對(duì)它進(jìn)行離散化處理。因此，對(duì)工程上常用的連續(xù)彈性體（如桿、軸、梁、板、殼，以及它們的組合系統(tǒng)）進(jìn)行振動(dòng)分析，求出它們的固有頻率和主振型，計(jì)算它們的動(dòng)力相應(yīng)，這在實(shí)用上和理論研究上都有非常重要的意義。 多自由度系統(tǒng)（離散系統(tǒng)）和彈性體（連續(xù)系統(tǒng)）是對(duì)同一個(gè)客觀事物（機(jī)器零部件）的不同

4、分析方法，因此它們之間必然存在一定的聯(lián)系和明顯的區(qū)別。,從動(dòng)力學(xué)模型上看，多自由度系統(tǒng)是將零部件看成由質(zhì)量、剛度集中在若干點(diǎn)上的離散元件所組成。如圖（a）所示，它是把一個(gè)零件分成若干段，每段的質(zhì)量分成兩半，分別加在兩端的集中質(zhì)量上。兩個(gè)質(zhì)量之間則用不計(jì)質(zhì)量、只計(jì)剛度的彈性元件相聯(lián)結(jié)。這樣就形成了具有n個(gè)集中質(zhì)量（m1、m2、…、mn）和n-1個(gè)彈簧（k1、k2、…、kn）所組成的n個(gè)自由度的集中參數(shù)模型，其廣義坐標(biāo)用振動(dòng)位移yi(t)表

5、示。彈性體則將零部件看成由質(zhì)量、剛度聯(lián)系分布的物體所組成，如圖（b）所示。當(dāng)一個(gè)零件的分段數(shù)時(shí)n→∞時(shí)，離散系統(tǒng)就變成聯(lián)系系統(tǒng)，其橫坐標(biāo)x也從一個(gè)離散值（x1、x2、…、xn）變?yōu)檫B續(xù)函數(shù)。因此系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)要用一個(gè)由截面位置x和時(shí)間t所表達(dá)的二元函數(shù)y(x,t)來(lái)表示。這就是說(shuō)，彈性體有無(wú)窮多個(gè)廣義坐標(biāo)，而且它們之間有一定的相互關(guān)系。,,從運(yùn)動(dòng)方程來(lái)看，多自由度系統(tǒng)用一個(gè)方程數(shù)與自由度相等的常系數(shù)線性微分方程組來(lái)描述；而彈性體則要用偏

6、微分方程式來(lái)描述，其階數(shù)決定于所研究的對(duì)象和振動(dòng)形態(tài)。 在本章中，我們只研究彈性體的最簡(jiǎn)單情況，即等截面的桿、軸、梁的振動(dòng)。而且假設(shè)彈性體的質(zhì)量和剛度均勻分布，在振動(dòng)過(guò)程中彈性體不產(chǎn)生裂紋，即要求廣義坐標(biāo)的變化是連續(xù)的。此外，我們的討論只局限在行星范圍內(nèi)，即認(rèn)為彈性體的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系服從虎克定律（Hooke’s law），而且是均質(zhì)各向同性的。,圖:多自由度系統(tǒng)和彈性體的動(dòng)力學(xué)分析,(b),(a),第4章 連續(xù)系統(tǒng)

7、 4.2 弦振動(dòng),振動(dòng)微分方程 由離散系統(tǒng)方程導(dǎo)出,將連續(xù)的弦作離散系統(tǒng)考慮，即由無(wú)質(zhì)量的弦聯(lián)接n個(gè)離散的質(zhì)量m i 。每個(gè)質(zhì)量上所受的力為F i,質(zhì)量m i的受力分析如圖。,對(duì)質(zhì)量m i在y方向的受力和加速度運(yùn)用牛頓第二定律：,或,由于弦兩端固定，因此有,設(shè),或,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4.2 弦振動(dòng),振動(dòng)微分方程 由離散系統(tǒng)方程導(dǎo)出,或,或兩邊除以D xi,當(dāng)質(zhì)量數(shù)無(wú)窮多時(shí)，D xi趨近于零，方程可寫成,其中，,由

8、于用x替換了變量xi ，因此對(duì)時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)換成偏導(dǎo)數(shù)，而增量比用對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)表示。,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4.2 弦振動(dòng),振動(dòng)微分方程 從連續(xù)系統(tǒng)直接導(dǎo)出,設(shè)長(zhǎng)度為L(zhǎng) 、兩端固定的弦上受均布載荷f (x, t) ，弦上x(chóng)處的張力與單位長(zhǎng)度質(zhì)量密度分別為T (x)和r (x)。,根據(jù)牛頓定律，任一瞬時(shí)作用在微弦段上y 方向的力與微弦段的加速度有如下關(guān)系,質(zhì)量為r A dx的微段dx，隔離體受力分析圖,展開(kāi)、消去相關(guān)的項(xiàng)、略

9、去dx的二次項(xiàng)，然后兩邊除以dx 得,或,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4.2 弦振動(dòng),自由振動(dòng) 特征值問(wèn)題,方程,邊界條件,用分離變量法，設(shè)：,代入方程：,兩邊同除以Y (x) r (x) F (t),上述方程兩邊分別依賴于變量x 和 t ，因此兩邊都等于常數(shù)。設(shè)常數(shù)為- w 2：,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4.2 弦振動(dòng),自由振動(dòng) 特征值問(wèn)題,從關(guān)于時(shí)間的方程,從關(guān)于位置x 的方程可以確定位移的形狀Y (x) ，它必須在區(qū)間

10、0<x<L 滿足方程及邊界條件Y (0) =Y (L) = 0。,解得 F (t),上式為包含未知常數(shù)w 2的二階常微分齊次方程，非平凡解Y (x)存在，且解中有兩個(gè)積分常數(shù)，而已知邊界條件只有兩個(gè)。,從方程可以看出，如果 Y (x)是偏微分方程的解，那么a Y (x) （ a是任意常數(shù)）也是方程的解。,這意味著，求解滿足邊界條件的偏微分方程，就是要找到滿足方程的未知常數(shù)w i 和對(duì)應(yīng)的函數(shù)Y i (x) 。與離散系統(tǒng)對(duì)

11、應(yīng)， w i 2稱為特征值（即系統(tǒng)的固有圓頻率平方），而Y i (x)稱為特征函數(shù)（ 主振型）。,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4.2 弦振動(dòng),自由振動(dòng) 特征值問(wèn)題,同樣地，與離散系統(tǒng)對(duì)應(yīng)，若特征函數(shù)Y i (x) 經(jīng)正則化處理，則它們關(guān)于質(zhì)量密度和張力正交：,對(duì)初始擾動(dòng)的響應(yīng),與離散系統(tǒng)類似，利用正交的正則化特征函數(shù)集Y i (x) （i = 1, 2, …）的線性組合，可以表示連續(xù)系統(tǒng)在初始擾動(dòng)下的響應(yīng)。,代入方程，兩邊左

12、乘Y i (x)，并對(duì)整個(gè)區(qū)間[ 0, L] 積分，利用特征函數(shù)的正交性：,解為,常數(shù)C i 和j i 由初始條件得到。,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4.2 弦振動(dòng),自由振動(dòng),例 4.1 圖示均勻弦兩端固定，弦中的張力為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問(wèn)題，畫(huà)出系統(tǒng)前四個(gè)特征函數(shù)，并驗(yàn)證正交性。,解 由題意，系統(tǒng)的T 和r 為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：,其中：,且有,從方程可知Y (x)是x的簡(jiǎn)諧函數(shù)，一般可寫,由邊界條件Y

13、 (0) ＝ 0 可得B = 0, 則,由邊界條件Y (L) ＝ 0 可得,由于A 不為零，必有,特征方程,特征值為,或,特征函數(shù)為,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4.2 弦振動(dòng),自由振動(dòng),例 4.1 圖示均勻弦兩端固定，弦中的張力為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問(wèn)題，畫(huà)出系統(tǒng)前四個(gè)特征函數(shù)，并驗(yàn)證正交性。,特征函數(shù)為,正交性驗(yàn)證,由正則化要求,正則化的特征函數(shù),第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4.2 弦振動(dòng),自由振動(dòng),例 4.1 圖示均勻

14、弦兩端固定，弦中的張力為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問(wèn)題，畫(huà)出系統(tǒng)前四個(gè)特征函數(shù)，并驗(yàn)證正交性。,正交性驗(yàn)證,三角函數(shù)積化和差,積分,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4.2 弦振動(dòng),自由振動(dòng),例 4.1 圖示均勻弦兩端固定，弦中的張力為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問(wèn)題，畫(huà)出系統(tǒng)前四個(gè)特征函數(shù)，并驗(yàn)證正交性。,正交性驗(yàn)證,三角函數(shù)積化和差,積分,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4.3 桿的縱向振動(dòng),振動(dòng)微分方程 從連續(xù)系統(tǒng)直接導(dǎo)出,設(shè)長(zhǎng)度為L(zhǎng) 、兩端

15、固定的桿上受均布軸向力f (x, t) ，桿上x(chóng)處的軸向剛度與單位長(zhǎng)度質(zhì)量分別為E A (x) 和m (x) 。,根據(jù)材料力學(xué)，任一瞬時(shí)作用在桿微段兩端的軸向內(nèi)力與軸的應(yīng)變成正比,取桿的微段dx，隔離體受力分析圖,或,根據(jù)牛頓定律，任一瞬時(shí)作用在桿微段上的軸向力與桿微段的加速度有如下關(guān)系,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4.3 桿的縱向振動(dòng),自由振動(dòng) 特征值問(wèn)題,方程,邊界條件,用分離變量法，設(shè)：,代入方程：,兩邊同除以U (x) m

16、 (x) F (t),上述方程兩邊分別依賴于變量x 和 t ，因此兩邊都等于常數(shù)。設(shè)常數(shù)為- w 2：,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 3 桿的縱向振動(dòng),自由振動(dòng) 特征值問(wèn)題,從關(guān)于時(shí)間的方程,從關(guān)于位置x 的方程可以確定位移的形狀U (x) ，它必須在區(qū)間0<x<L 滿足方程及邊界條件U (0) =U (L) = 0。,解得 F (t),與弦振動(dòng)的特征值問(wèn)題作比較,結(jié)論,只要把弦振動(dòng)特征值問(wèn)題中的Y (x) 、T (

17、x)和r (x)換作U (x) 、EA (x) 和m (x) 就得到桿作縱向振動(dòng)的特征值問(wèn)題表達(dá)式。,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 3 桿的縱向振動(dòng),自由振動(dòng) 特征值問(wèn)題,例 4.2 圖示均勻桿兩端固定，桿的拉伸剛度為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問(wèn)題。,解 由題意，系統(tǒng)的EA 和m為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：,其中：,且有,從方程可知U (x)是x的簡(jiǎn)諧函數(shù)，一般可寫,由邊界條件U (0) ＝ 0 可得b = 0, 則,由邊

18、界條件U (L) ＝ 0 可得,由于a 不為零，必有,特征方程,特征值為,或,特征函數(shù)為,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 3 桿的縱向振動(dòng),自由振動(dòng) 特征值問(wèn)題,例 4. 3 圖示均勻桿兩端自由，桿的拉伸剛度為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問(wèn)題。,解 由題意，系統(tǒng)的EA 和m為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：,其中：,且有,從方程可知U (x)是x的簡(jiǎn)諧函數(shù)，一般可寫,由 x = 0 處的邊界條件可得a = 0, 則,由x = L 處

19、的邊界條件可得,由于b 不為零，必有,特征方程,特征值為,或,特征函數(shù)為,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 3 桿的縱向振動(dòng),自由振動(dòng) 特征值問(wèn)題,例 4.4 圖示一端固定，另一端自由均勻桿的拉伸剛度為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問(wèn)題。,解 由題意，系統(tǒng)的EA 和m為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：,其中：,且有,從方程可知U (x)是x的簡(jiǎn)諧函數(shù)，一般可寫,由邊界條件U (0) ＝ 0 可得b = 0, 則,由于a 不為零，必有,特

20、征方程,特征值為,或,特征函數(shù)為,由x = L 處的邊界條件可得,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 3 桿的縱向振動(dòng),自由振動(dòng) 特征值問(wèn)題,討論 作縱向振動(dòng)桿的邊界狀況、頻率方程和振型函數(shù),邊界狀況,頻率,振型函數(shù),兩端固定,兩端自由,一端固定一端自由,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 3 桿的縱向振動(dòng),自由振動(dòng) 特征值問(wèn)題,例 4.5 設(shè)圖示推進(jìn)軸系由長(zhǎng)度為L(zhǎng)、單位長(zhǎng)度質(zhì)量為m、拉伸剛度為EA的均勻桿和質(zhì)量為M 的螺旋槳組

21、成，軸系的一端由推力軸承固定，另一端自由。求解軸系作縱向振動(dòng)時(shí)系統(tǒng)的特征值問(wèn)題。,解 由題意，系統(tǒng)的EA 和m為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：,其中：,或,固定端的邊界條件不變， U (0) ＝ 0 ，而自由端有：,代入,整理得,,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 3 桿的縱向振動(dòng),自由振動(dòng) 特征值問(wèn)題,例 4.5 設(shè)圖示推進(jìn)軸系由長(zhǎng)度為L(zhǎng)、單位長(zhǎng)度質(zhì)量為m、拉伸剛度為EA的均勻桿和質(zhì)量為M 的螺旋槳組成，軸系的一端由推力軸承固

22、定，另一端自由。求解軸系作縱向振動(dòng)時(shí)系統(tǒng)的特征值問(wèn)題。,對(duì)于上述超越方程，只要給定系統(tǒng)參數(shù)，就能得到系統(tǒng)的特征值w i 。,特征方程,由邊界條件U (0) ＝ 0 可得b = 0, 則,從方程可知U (x)是x的簡(jiǎn)諧函數(shù)，一般可寫,邊界條件,由x ＝ L 處的邊界條件得,或,特征函數(shù)為U i 為,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 3 桿的縱向振動(dòng),自由振動(dòng) 特征值問(wèn)題,討論 作縱向振動(dòng)桿邊界條件的討論,邊界狀況,左端,

23、右端,固定,自由,帶有彈簧k,帶有集中質(zhì)量M,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4.4 桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng),振動(dòng)微分方程 從連續(xù)系統(tǒng)直接導(dǎo)出,設(shè)長(zhǎng)度為L(zhǎng) 、一端固定一端自由的桿上受均布外扭矩M (x, t)與軸的轉(zhuǎn)角q 同向，桿的扭轉(zhuǎn)剛度與單位長(zhǎng)度轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為G IP (x) 和J (x) 。,根據(jù)材料力學(xué)，任一瞬時(shí)作用在桿微段兩端的扭轉(zhuǎn)內(nèi)力矩之與軸的剪應(yīng)變成正比,取桿的微段dx，隔離體受力分析圖,或,根據(jù)動(dòng)量矩定律，任一瞬時(shí)作用在桿微段

24、上的內(nèi)外力矩與桿微段的角加速度有如下關(guān)系:,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 4 桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng),自由振動(dòng) 特征值問(wèn)題,方程,邊界條件,用分離變量法，設(shè)：,代入方程：,兩邊同除以Q (x) J (x) F (t),上述方程兩邊分別依賴于變量x 和 t ，因此兩邊都等于常數(shù)。設(shè)常數(shù)為- w 2：,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 4 桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng),自由振動(dòng) 特征值問(wèn)題,從關(guān)于時(shí)間的方程,從關(guān)于位置x 的方程可以確定位移的形狀Q (

25、x) ，它必須在區(qū)間0<x<L 滿足方程及邊界條件。,解得 F (t),與弦振動(dòng)的特征值問(wèn)題作比較,結(jié)論,只要把弦振動(dòng)特征值問(wèn)題中的Y (x) 、T (x)和r (x)換作Q (x) 、GIP (x) 和J (x) 就得到桿作縱向振動(dòng)的特征值問(wèn)題表達(dá)式。,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 4 桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng),自由振動(dòng) 特征值問(wèn)題,例 4.6 圖示一端固定，另一端自由均勻桿的扭轉(zhuǎn)剛度為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問(wèn)題。,解 由

26、題意，系統(tǒng)的GIP和J為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：,其中：,且有,從方程可知Q (x)是x的簡(jiǎn)諧函數(shù)，一般可寫,由邊界條件Q (0) ＝ 0 可得b = 0, 則,由于a 不為零，必有,特征方程,特征值為,或,特征函數(shù)為,由x = L 處的邊界條件可得,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 4 桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng),自由振動(dòng) 特征值問(wèn)題,例 4.7 設(shè)圖示軸系由長(zhǎng)度為L(zhǎng)、單位長(zhǎng)度轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J、扭轉(zhuǎn)剛度為GIP的均勻桿和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J1和J

27、1的剛性薄圓盤組成，整個(gè)軸系在扭轉(zhuǎn)角方向無(wú)約束。求解軸系作扭轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)系統(tǒng)的特征值問(wèn)題。,解 由題意，系統(tǒng)的GIP和J為常數(shù)，因此系統(tǒng)滿足如下方程：,其中：,或,兩邊的邊界條件為：,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 4 桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng),自由振動(dòng) 特征值問(wèn)題,代入,整理得,,例 4.7,邊界條件,利用,,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 4 桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng),自由振動(dòng) 特征值問(wèn)題,例 4.7,分離變量后的方程,從方程可知Q (x)是x

28、的簡(jiǎn)諧函數(shù)，一般可寫,整理：,或：,頻率方程：,設(shè)：,頻率為：,振型為：,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 4 桿的扭轉(zhuǎn)振動(dòng),自由振動(dòng) 特征值問(wèn)題,例 4.7 討論 1,頻率為：,頻率方程為：,即：,相當(dāng)于兩端自由的圓軸作自由振動(dòng)。,振型為：,討論 2 J 1和J2 很大,相當(dāng)于忽略軸質(zhì)量的兩自由度系統(tǒng)的非零頻率。,例4.8 如圖所示的一端固定，一端帶有一個(gè)圓盤的圓軸，試計(jì)算軸系扭轉(zhuǎn)的固有頻率和主振型。邊界條件是，在

29、固定端轉(zhuǎn)角等于零，帶圓盤這一端，則要求軸受到的扭矩M等于轉(zhuǎn)子的慣性力矩。用數(shù)學(xué)式表達(dá)如下：解：扭轉(zhuǎn)解為:代入初始條件得:A=0，,,,,即若設(shè)圓軸對(duì)軸線的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量I為，則有：代入得： 即圖示系統(tǒng)的頻率方程。 令 得 作出以下兩條曲線： 兩條曲線的交點(diǎn) 即可求出系統(tǒng)的第階固有頻率

30、 。,,,,,,根據(jù)正切函數(shù)的性質(zhì)，我們可以在橫坐標(biāo)上每相隔一個(gè)π值就可以作出一條的曲線 。因此可以得到曲線y1與y2的許多交點(diǎn) 、 、… ，所以即求出系統(tǒng)的各階固有頻率。對(duì)應(yīng)于各階固有頻率 就可以求出系統(tǒng)的各階主振型：,,,,,,,4－1 設(shè)圖示軸系由長(zhǎng)度為L(zhǎng)、單位長(zhǎng)度轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J、扭轉(zhuǎn)剛度為GIP的均勻桿和轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為J2的剛性薄圓盤組成，軸系一端固定。求解軸系作扭

31、轉(zhuǎn)振動(dòng)時(shí)系統(tǒng)的特征值問(wèn)題。,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 習(xí)題,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 5 梁的橫向振動(dòng),振動(dòng)微分方程 從連續(xù)系統(tǒng)直接導(dǎo)出,設(shè)長(zhǎng)度為L(zhǎng) 的細(xì)長(zhǎng)梁（梁的長(zhǎng)度與截面高度比大于10）上受y方向的均布載荷f (x, t) ，梁的彎曲剛度與單位長(zhǎng)度質(zhì)量分別為E I (x) 和m (x) 。,取梁的微段dx，作隔離體受力分析圖,根據(jù)牛頓第二定律，任一瞬時(shí)作用在梁微段上的剪力和外力與梁微段的加速度有如下關(guān)系,根據(jù)梁微段

32、的力矩平衡，有如下關(guān)系,當(dāng)梁的截面尺寸與長(zhǎng)度相比較小時(shí)，根據(jù)材料力學(xué)，梁的彎矩與變形的關(guān)系為,忽略dx的二次項(xiàng)：,代入上述力平衡方程，得,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 5 梁的橫向振動(dòng),振動(dòng)微分方程 從連續(xù)系統(tǒng)直接導(dǎo)出,把彎矩M與位移y 的關(guān)系代入方程，得,梁的橫向振動(dòng)在0至L的區(qū)間應(yīng)滿足上述Euler-Bernoulli梁方程（包含對(duì)位置的四階導(dǎo)數(shù)），在邊界應(yīng)滿足一定的邊界條件。,常見(jiàn)的邊界條件有：,固支,鉸支,自由,梁的運(yùn)

33、動(dòng)方程說(shuō)明： 梁的橫向振動(dòng)是指細(xì)長(zhǎng)桿作垂直軸線方向的振動(dòng)。在分析這種振動(dòng)時(shí)，作出以下幾點(diǎn)假設(shè)： （1）梁的各截面的中心主軸在同一平面內(nèi)，且在次平面內(nèi)作橫向振動(dòng)。 （2）梁的橫截面尺寸與其長(zhǎng)度之比較小，可忽略轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和剪切變形的影響。 （3）梁的橫向振動(dòng)符合小撓度平面彎曲的假設(shè)，即橫向振動(dòng)的振幅很小，在線性范圍以內(nèi)。 這種只考慮由彎曲引起的變形，而不計(jì)由剪切引起的變形及轉(zhuǎn)動(dòng)慣

34、量的影響的梁的彎曲振動(dòng)的力學(xué)模型，稱為歐拉－伯努利梁（Eular-Bernoulli beam）。,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 5 梁的橫向振動(dòng),振動(dòng)微分方程 旋轉(zhuǎn)慣量與剪切變形的影響,設(shè)長(zhǎng)度為L(zhǎng) 的等截面梁上受y方向的均布載荷f (x, t) ，梁的彎曲剛度、剪切模量、截面積和質(zhì)量密度分別為E I 、G、A和r 。,當(dāng)梁被橫截面細(xì)分成較短的部分時(shí)，旋轉(zhuǎn)慣量與剪切變形對(duì)高頻振型的影響必須考慮。取梁的微段dx，作隔離體受力分

35、析圖。,根據(jù)D’Alembert原理，忽略dx的二次項(xiàng)有如下關(guān)系：,撓度曲線的斜率是剪力與彎矩共同作用的結(jié)果，即：,式中：,y為與截面形狀有關(guān)的因子。,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 5 梁的橫向振動(dòng),振動(dòng)微分方程 旋轉(zhuǎn)慣量與剪切變形的影響,將上述關(guān)系綜合并整理得：,忽略剪切變形，得到僅考慮旋轉(zhuǎn)慣量的方程：,系統(tǒng)作自由振動(dòng)時(shí)：,Timoshenko梁振動(dòng)方程,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 5 梁的橫向振動(dòng),自由振動(dòng) 特征值

36、問(wèn)題,對(duì)細(xì)長(zhǎng)梁，方程為：,設(shè)：,兩邊同除以Y (x) m (x) F (t),上述方程兩邊分別依賴于變量x 和 t ，因此兩邊都等于常數(shù)。設(shè)常數(shù)為- w 2：,特征值問(wèn)題為：,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 5 梁的橫向振動(dòng),自由振動(dòng) 特征值問(wèn)題,解：由題意特征值問(wèn)題為：,例 4.9 圖示均勻細(xì)長(zhǎng)梁兩端固定，其彎曲剛度EI為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問(wèn)題。,其中，,方程的解有以下形式：,對(duì)固支的梁，邊界條件有：,由四個(gè)邊界條件得：,消

37、去a、 b、c、 d、 ，可得：,特征方程,特征值由數(shù)值解獲得,其中,特征函數(shù)為,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 5 梁的橫向振動(dòng),自由振動(dòng) 特征值問(wèn)題,解：由題意特征值問(wèn)題為：,例 4.10 圖示均勻細(xì)長(zhǎng)懸臂梁一端固定、一端自由，其彎曲剛度EI為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問(wèn)題。,其中，,方程的解有以下形式：,對(duì)懸臂梁，邊界條件有：,由x=0處的邊界條件得：,則Y(x )可改寫為：,由x=L處的邊界條件得：,a和b有非零解的充要條件

38、為：,整理得特征方程：,從數(shù)值解得到特征值：,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 5 梁的橫向振動(dòng),自由振動(dòng) 特征值問(wèn)題,例 4.10 圖示均勻懸臂梁一端固定、一端自由，其彎曲剛度EI為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問(wèn)題。,特征向量為：,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 5 梁的橫向振動(dòng),自由振動(dòng) 特征值問(wèn)題,解：由題意特征值問(wèn)題為：,例 4.11 圖示均勻細(xì)長(zhǎng)梁兩端鉸支，其彎曲剛度EI為常數(shù)，求解系統(tǒng)的特征值問(wèn)題。,其中，,方程的解

39、有以下形式：,對(duì)鉸支的梁，邊界條件有：,由x=0處的邊界條件得：,特征方程：,則,特征值為,正則化的特征函數(shù)為,由x=L處的邊界條件得：,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 5 梁的橫向振動(dòng),自由振動(dòng) 特征值問(wèn)題,均勻梁的頻率方程、特征函數(shù)和特征值,邊界條件,頻率方程、特征函數(shù),第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 5 梁的橫向振動(dòng),自由振動(dòng) 特征值問(wèn)題,均勻梁的頻率方程、特征函數(shù)和特征值,邊界條件,頻率方程、特征函數(shù),第4章 連續(xù)

40、系統(tǒng) 4. 5 梁的橫向振動(dòng),自由振動(dòng) 特征值問(wèn)題,均勻梁的頻率方程、特征函數(shù)和特征值,邊界條件,頻率方程、特征函數(shù),第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 5 梁的橫向振動(dòng),連續(xù)梁的振動(dòng),圖示任意相鄰兩跨連續(xù)梁，假定每跨都有均布質(zhì)量與剛度。對(duì)任意跨 i, 可利用均勻鉸支梁的解寫出其振型函數(shù)：,其對(duì)位置的一階和二階導(dǎo)數(shù)為：,邊界條件為：,由上述邊界條件得：,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 5 梁的橫向振動(dòng),連續(xù)梁的振動(dòng),得：

41、,將其中如下的兩式相加減并代入式,或,則,其中,第4章 連續(xù)系統(tǒng) 4. 5 梁的橫向振動(dòng),將式 的下標(biāo)增加1：,連續(xù)梁的振動(dòng),代入,得,或,由邊界條件 和 得,第4章 連續(xù)系統(tǒng)

42、 4. 5 梁的橫向振動(dòng),連續(xù)梁的振動(dòng),將式 的下標(biāo)減1或加1，代入下式：,得到動(dòng)力三彎矩方程：,當(dāng)構(gòu)件由相同的材料制成，且各跨截面積相等，則動(dòng)力三彎矩方程可簡(jiǎn)化成：,梁的橫向受迫振動(dòng) 研究梁的受迫振動(dòng)，關(guān)鍵在于求其外界激振力作用下的動(dòng)力響應(yīng)，而求彈性體的動(dòng)力響應(yīng)也可以用模態(tài)分析法，這是因?yàn)閺椥泽w也存在主振型正交的這一特性。但在彈性體