極限的性質(zhì)與四則運(yùn)算法則

1、第四節(jié)第四節(jié)極限的性質(zhì)與四則運(yùn)算法則極限的性質(zhì)與四則運(yùn)算法則教學(xué)目的：使學(xué)生掌握極限的四則運(yùn)算法則，并會(huì)利用它們求極限；教學(xué)目的：使學(xué)生掌握極限的四則運(yùn)算法則，并會(huì)利用它們求極限；教學(xué)重點(diǎn)：有理函數(shù)極限的計(jì)算；教學(xué)重點(diǎn)：有理函數(shù)極限的計(jì)算；教學(xué)過(guò)程：教學(xué)過(guò)程：一、復(fù)習(xí)無(wú)窮大和無(wú)窮小的概念及性質(zhì)二、講解新課：一、函數(shù)極限的性質(zhì)定理1：（保號(hào)性）設(shè)，Axfxx??)(lim0（i）若，則，當(dāng)時(shí)，。)0(0??AA0???)(0???xUx0

2、)(?xf)0)((?xf（ii）若，必有。)0)((0)(??xfxf)0(0??AA證明：（i）先證的情形。取，由定義，對(duì)此，當(dāng)0?A2A??0????)(0???xUx時(shí)，，即。2)(AAxf????0)(232)(220?????????xfAAAxfAAA當(dāng)時(shí)，取，同理得證。0?A2A???（ii）(反證法)若，由(i)矛盾，所以。0?A0)(??xf0?A當(dāng)時(shí)，類(lèi)似可證。0)(?xf注：(i)中的“”，“”不能改為“”，“”

3、。????在(ii)中，若，未必有。0)(?xf0?A二、極限四則運(yùn)算法則由極限定義來(lái)求極限是不可取的，也是不行的，因此需尋求一些方法來(lái)求極限。定理1：若，則存在，且BxgAxf??)(lim)(lim)]()(lim[xgxf?。)(lim)(lim)]()(lim[xgxfBAxgxf?????證明：只證，過(guò)程為，對(duì)，當(dāng)BAxgxf???)]()(lim[0xx?001??????時(shí)，有，對(duì)此，，當(dāng)100????xx2)(???Ax

4、f?02???時(shí)，有，取，當(dāng)200????xx2)(???Bxgmin21????時(shí)，有????00xx定理4：如果，且，則。)()(xx???bxax??)(lim)(lim??ba?【例1】。baxbxabaxbaxxxxxxxxx???????????00000limlimlim)(lim【例2】。nnxxnxxxxx0]lim[lim00????推論1：設(shè)為一多項(xiàng)式，當(dāng)nnnnaxaxaxaxf???????1110)(??。)

5、()(lim001101000xfaxaxaxaxfnnnnxx???????????推論2：設(shè)均為多項(xiàng)式，且，則。)()(xQxP0)(0?xQ)()()()(lim000xQxPxQxPxx??【例3】。31151105(lim221?????????xxx【例4】（因?yàn)椋?3009070397lim53530?????????????xxxxx03005???注：若，則不能用推論2來(lái)求極限，需采用其它手段。0)(0?xQ【例5】

6、求。322lim221?????xxxxx解：當(dāng)時(shí)，分子、分母均趨于0，因?yàn)椋s去公因子，1?x1?x)1(?x所以。53322lim322lim1221??????????xxxxxxxx【例6】求。)1311(lim31?????xxx解：當(dāng)全沒(méi)有極限，故不能直接用定理3，但當(dāng)時(shí)，131113????xxx1??x，所以12)1)(1()2)(1(1311223?????????????xxxxxxxxxx。11)1()1(2112