玫瑰有約問題

1、1關(guān)于玫瑰有約的數(shù)學(xué)模型摘要當(dāng)今社會，城市大齡青年的婚姻問題已引起了廣泛關(guān)注。針對這一現(xiàn)象，假設(shè)某單位有20對大齡青年男女，每個人的基本條件和擇偶條件都各不相同。該單位的婦聯(lián)組織擬根據(jù)他們的年齡、基本條件和要求條件牽線搭橋。本文根據(jù)每個人的基本條件和要求，建立數(shù)學(xué)模型幫助婦聯(lián)解決這個問題。首先，我們定義了好感度、好感度增量和成功指數(shù)。好感度是男方（女方）對女方（男方）符合自己要求條件的一個量化指標(biāo)，其中若不滿足2個要求條件（包括只滿足一

2、個要求條件和完全不滿足的情況）或年齡條件不符合（男青年至多比女青年大5歲，或女青年至多比男青年大2歲），我們定義此時的好感度為0；若只滿足3個要求條件，好感度為3；依次類推，若5個要求條件都滿足，好感度為5。考慮到兩個同樣滿足要求條件的對象，某個單項條件的突出可能會影響到最后的選擇，所以我們又引入了好感度增量，即在好感度不為0的情況下，某個自身條件優(yōu)于要求條件一個等級（如男青年要求外貌為B而某女青年的外貌為A），好感度增量為0.5。而成

3、功指數(shù)則是考量男女雙方的配對成功率，具體算法為：成功指數(shù)=(好感度好感度增量)（男對女）ⅹ（好感度好感度增量）（女對男）。建立矩陣)2020(M（jim表示i號男青年配對j號女青年的成功指數(shù)）。用matlab處理數(shù)據(jù)得出矩陣)2020(M。針對問題（一）要使配對成功率盡可能的高，也就是給出一種方案，使得20對男女的配對成功指數(shù)最高。我們把二十個青年男女抽象化為40個結(jié)點(diǎn)得到一個帶權(quán)二部圖，其中Aj表示二十個男青年，Bj表示二十個女青年，

4、而從男青年到女青年有一條帶權(quán)邊，權(quán)則由上面求得的成功指數(shù)矩陣M決定，然后，我們用最大二部圖匹配算法（匈牙利算法）求出一個最大匹配的解，進(jìn)而就可以用匈牙利算法對其求解。針對問題（二）求解出的匹配方案應(yīng)使20對男女青年可以全部配對（即沒有一對的成功指數(shù)為0），且配對成功率之和最高，抽象成數(shù)學(xué)問題即求解二分圖的最大權(quán)完全匹配解。采用KM算法。針對問題（三）要使每個個體配對成功的可能性最大，要保證配對的男女青年的成功指數(shù)足夠高，而且兩者好感度（

5、）差值的絕對值不能太大，因此我們定義了兩者好感度（）差值的絕對值為差異指數(shù)，規(guī)定成功指數(shù)應(yīng)大于所有配對成功指數(shù)的平均值（成功指數(shù)為0的情況除外）；差異指數(shù)應(yīng)小于差異指數(shù)均值的一半。3jiF3——表示i號女青年對j號男青年的好感度jiF——表示i號女青年對j號男青年的好感度增量)2020(R——jir表示i號男青年配對j號女青年的成功指數(shù)3模型的建立和求解3.1條件量化處理對于每個人的外貌、性格、氣質(zhì)、事業(yè)、財富五項條件的5個等級A，B，

6、C，D，E分別作量化處理為5，4，3，2，1。于是根據(jù)附錄4可以得到男女青年的基本條件量化矩陣和要求條件量化矩陣。3.2建立權(quán)值矩陣要引入權(quán)值指數(shù)，首先列出大多數(shù)人認(rèn)可的權(quán)值指數(shù)應(yīng)具有的性質(zhì)：(1)如果男方的基本條件中滿足女方要求條件的個數(shù)越多，則成功率越高，權(quán)值指數(shù)越大，反之亦然；(2)如果男方滿足女方的條件個數(shù)一定，在這些滿足的方面（男方的基本條件等級越高，則女方的好感度越高，成功率越高，權(quán)指數(shù)越大。根據(jù)以上基本性質(zhì)，定義如下權(quán)值指

7、數(shù)：好感度：好感度是男方（女方）對女方（男方）符合自己要求條件的一個量化指標(biāo)，我們定義為：jiM3，其中若不滿足2個要求條件（包括只滿足一個要求條件和完全不滿足的情況）或年齡條件不符合（男青年至多比女青年大5歲，或女青年至多比男青年大2歲），我們定義此時的好感度jiM3=0，若只滿足3個要求條件，好感度為3，依次類推，若5個要求條件都滿足，好感度為5。于是我們得到：jiM3=51（jiF1jiM2）021121jijijijiMFMF0