《二次函數y=ax^2+bx+c的圖象和性質(1)》名師課件

1、,,名 師 課 件,22.1.4 二次函數y=ax2+bx+c的圖象和性質,第一課時,（1）二次函數 的圖象性質：,向上,當 時，y隨x的增大而減?。划?時，y隨x的增大而增大,當 時，y隨x的增大而增大；當 時，y隨x的增大而減小,向下,當 時，,當

2、 時，,（2）拋物線的平移規(guī)律：,（h）左加右減，(k)上加下減,活動1,探究一：從舊知識過渡到新知識,復習配方,填空：（1）x2 + 4x+ 9=（x+ ）2+ ； （2）x2 - 5x+ 8=（x- ）2+ .,2,5,總結規(guī)律：,當二次項的系數為1時，常數項須配一次項系數一半的平方．,活動2,探究

3、一：從舊知識過渡到新知識,以舊引新,1.二次函數y＝a(x－h(huán))2＋k的圖象，可以由函數y＝ax2的圖象先向________平移____個單位，再向________平移____個單位得到．,2．二次函數y＝a(x－h(huán))2＋k的圖象的開口方向 ，對稱軸是_______，頂點坐標是________．,3．二次函數

4、 ，你能很容易地說出它的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標，并畫出圖象嗎？,左或右,|h|,上或下,|k|,a＞0，向上；a<0，向下,x=h,(h，k),活動1,探究二：用配方法求拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標、對稱軸,合作探究,重點、難點知識★▲,例1 畫函數 的圖象，并指出它的開口方向、對稱軸和頂點坐標．,分

5、析：首先要用配方法將函數寫成y＝a(x－h(huán))2＋k的形式；然后，確定函數圖象的開口方向、對稱軸與頂點坐標；接下來，利用函數的對稱性列表、描點、連線．,活動1,探究二：用配方法求拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標、對稱軸,重點、難點知識★▲,解：,所以它的開口向上，對稱軸是x=6， 頂點坐標是（6，3）.,同學們自己畫圖！,歸納：一般式化為頂點式的思路：,(1)二次項系數化為1；(2)加、減一次項系數一半的平方；(3)寫成平方的

6、形式．,例1 畫函數 的圖象，并指出它的開口方向、對稱軸和頂點坐標．,合作探究,活動2,探究二：用配方法求拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標、對稱軸,小組討論,重點、難點知識★▲,如果每次都采取“配方”，豈不是很麻煩？有更好的辦法嗎？,例2 求二次函數y=ax²+bx+c的對稱軸和頂點坐標．,解：把二次函數y=ax²+bx+c的右邊配方，得,活動2,

7、探究二：用配方法求拋物線y=ax2+bx+c的頂點坐標、對稱軸,重點、難點知識★▲,點撥：,1.運用配方法，可以將二次函數表達式的兩種形式y(tǒng)=ax2+bx+c與y＝a(x－h(huán))2＋k相互轉化.,將二次函數y=ax2+bx+c（一般式）轉化為y＝a(x－h(huán))2＋k（頂點式）的形式，,即：,則：,2.在二次函數y=ax2+bx+c與二次函數y＝a(x－h(huán))2＋k中，,小組討論,活動,重點、難點知識★▲,探究三：二次函數的圖象及性質,師生共研

8、，探究性質,畫出函數 的圖象，并試著說出它的性質．,解：,列表：,描點、連線：,活動,重點、難點知識★▲,探究三：二次函數的圖象及性質,觀察圖象知：開口向上，對稱軸是x＝4，頂點坐標是(4，2)．當x>4時，y隨x的增大而增大；當x<4時，y隨x的增大而減?。攛＝4時，函數y取最小值2.,師生共研，探究性質,畫出函數

9、 的圖象，并試著說出它的性質．,重點、難點知識★▲,探究三：二次函數的圖象及性質,思考、討論下列問題：,1.對于任意一個二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，如何確定它的圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標？你能把結果寫出來嗎？2.觀察二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象，在對稱軸的左右兩側，y隨x的增大有什么變化規(guī)律？3.函數的最大值或最小值與函數圖象的開口方向有什么關系？這個值與函數圖象的頂點坐標有什么關系？

10、4.你能歸納總結二次函數y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象和性質嗎？,活動,師生共研，探究性質,重點、難點知識★▲,探究三：二次函數的圖象及性質,二次函數y＝ax2＋bx＋c（a,b,c是常數，a≠0）的圖象與性質：,a＞0,(1)當a＞0時，拋物線開口向上，并且向上無限延伸.,(2)對稱軸是直線,頂點坐標為,(3)在對稱軸的左側，即相當于 時，y隨x的增大而減??；,在對稱軸的右側，即相當于

11、 時，y隨x的增大而增大；,簡記為“左減右增”.,(4)拋物線有最低點，當 時，y有最小值，y最小值=,活動,師生共研，探究性質,重點、難點知識★▲,探究三：二次函數的圖象及性質,二次函數y＝ax2＋bx＋c（a,b,c是常數，a≠0）的圖象與性質：,a<0,(1)當a<0時，拋物線開口向下，并且向下無限延伸.,(2)對稱軸是直線,頂點坐標為,(3)在對稱軸的左側，即相當于

12、 時，y隨x的增大而增大；,在對稱軸的右側，即相當于 時，y隨x的增大而減小；,簡記為“左增右減”.,(4)拋物線有最高點，當 時，y有最大值，y最大值=,活動,師生共研，探究性質,探究四：二次函數的圖象及性質的應用,活動1,基礎型例題,例1 把下面的二次函數的一般式化成頂點式：,【解題過程】,解法一：用配方法：,探究四：二次函數的圖象及性質的應用,活動1,

13、【思路點撥】一般式化為頂點式有兩種方法，一種是配方法，另一種是代入公式法．,例1 把下面的二次函數的一般式化成頂點式：,基礎型例題,【解題過程】,解法二：用公式法：,探究四：二次函數的圖象及性質的應用,活動1,基礎型例題,練習：若二次函數y＝x2＋bx＋5配方后為y＝(x－2)2＋k，則b，k的值分別為( )A.0，5 B.0，1 C.－4，5 D.－4，1,解：∵y＝(x－2)

14、2＋k=x2-4x+4+k，∴b=-4，4+k=5，∴k=1,故選D.,D,探究四：二次函數的圖象及性質的應用,活動1,基礎型例題,例2 已知：拋物線,（1）直接寫出拋物線的開口方向、對稱軸、頂點坐標；（2）求拋物線與x軸的交點坐標、與y軸的交點坐標；（3）當x為何值時，y隨x的增大而增大？,【解題過程】,解：(1)開口向上，對稱軸為直線x＝1，頂點坐標為(1，－8)．,所以與x軸的交點坐標為(－1，0)，(3，0)．,令x＝0

15、，得y＝－6，所以與y軸的交點坐標為(0，－6)．,(3)當x≥1時，y隨x的增大而增大．,探究四：二次函數的圖象及性質的應用,活動1,基礎型例題,練習：若點A（2，y1）、B（3，y2）是二次函數y=x2－2x＋1的圖象上兩點，則y1與y2的大小關系為y1　 　y2（填“＞”、“＜”、“=”）．,【解題過程】,解：∵二次函數y=x2﹣2x+1的圖象的對稱軸是x=1，在對稱軸的右側y隨x的增大而增大，,∵點A（2，y1）、B（3，y2

16、）是二次函數y=x2﹣2x+1的圖象上兩點， 1＜2＜3，,∴y1＜y2.,＜,【思路點撥】根據已知條件求出二次函數的圖象的對稱軸，再根據點A、B的橫坐標的大小即可判斷出y1與y2的大小關系.,探究四：二次函數的圖象及性質的應用,活動2,提升型例題,例3 已知 那么函數y=﹣2x2+8x﹣6的最大值是（?。?﹣10.5 B.2 C.﹣2.5 D.﹣6,【解題過程】,解：∵y

17、=﹣2x2+8x﹣6=﹣2（x﹣2）2+2．,∴該拋物線的對稱軸是x=2，且在x＜2上y隨x的增大而增大．,又∵,∴當 時，y取最大值，,C,【思路點撥】確定一個二次函數的最值，首先看自變量的取值范圍，當自變量取全體實數時，其最值為拋物線頂點坐標的縱坐標；當自變量取某個范圍時，要分別求出頂點和函數端點處的函數值，比較這些函數值，從而獲得最值．,探究四：二次函數的圖象及性質的應用,活動2,提升型例題,從上表可知，下列

18、說法中正確的是 　 ．（填寫序號）,【思路點撥】題中給出表格，可根據所給數據，求出函數解析式，再據此即可作出判斷；也可根據表格中的數據，拋物線的對稱性，以及二次函數的圖象性質，進行判斷。,練習：拋物線 上部分點的橫坐標x，縱坐標y的對應值如下表：,探究四：二次函數的圖象及性質的應用,活動2,提升型例題,【解題過程】,解法一：略.（請同學們自己完成）,解法二：,∵拋物線

19、與x軸的一個交點為（-2，0），∴拋物線與x軸的另一個交點為（3,0），①選項正確；,觀察表格知，在對稱軸左側，y隨x增大而增大，④選項正確.,故正確的是①③④.,探究四：二次函數的圖象及性質的應用,活動2,提升型例題,例4 將拋物線y=ax²+bx+c向右平移3個單位長度，再向下平移2個單位長度，得到拋物線y＝x² +2x+3，求a，b，c的值．,【解題過程】,解：∵y＝x² +2x+3=（x+1）&#

20、178;+2，,∴把拋物線y＝（x+1）²+2向左平移3個單位長度，再向上平移2個單位長度，,得到拋物線y＝（x+4）²+4，,∴ax²+bx+c ＝（x+4）²+4= x²+8x+20，,∴a＝1，b＝8，c＝20.,【思路點撥】此題應用了逆向思維．由拋物線y=ax²+bx+c變到拋物線y＝x² +2x+3，不易求a，b，c的值；但反過來由拋物線y＝x²

21、+2x+3平移成拋物線y=ax²+bx+c就可輕松求解．,探究四：二次函數的圖象及性質的應用,活動2,提升型例題,練習：將拋物線 向左平移3個單位，再向上平移5個單位，得到拋物線的表達式為（ ）,A． B．C．

22、 D．,【思路點撥】先將一般式化為頂點式，根據左加右減，上加下減來平移.,D,探究四：二次函數的圖象及性質的應用,活動3,探究型例題,例5 如圖所示，二次函數y=－x2+2x+m的圖象與x軸的一個交點為A（3，0），另一個交點為B，且與y軸交于點C．,（1）求m的值；,【解題過程】,解：（1）將（3，0）代入二次函數解析式，得－32+2×3+m=0．解得，m=3．,探究四：二次函數的圖象及性質的應用,活動

23、3,（2）求點B的坐標；,解：（2）二次函數解析式為y=－x2+2x+3，令y=0，得－x2+2x+3=0．解得x=3或x=－1．∴點B的坐標為（－1，0）．,探究型例題,例5 如圖所示，二次函數y=－x2+2x+m的圖象與x軸的一個交點為A（3，0），另一個交點為B，且與y軸交于點C．,【解題過程】,探究四：二次函數的圖象及性質的應用,活動3,【思路點撥】解題的關鍵是掌握二次函數與一元二次方程的關系，底相同且面積相等的兩個三角形高

24、相等。,探究型例題,例5 如圖所示，二次函數y=－x2+2x+m的圖象與x軸的一個交點為A（3，0），另一個交點為B，且與y軸交于點C．,【解題過程】,（3）該二次函數圖象上有一點D（x，y）（其中x＞0，y＞0），使 求點D的坐標．,解：（3）∵ 點D在第一象限，∴點C、D關于二次函數對稱軸對稱．∵由二次函數解析式可得其對稱軸為

25、x=1，點C的坐標為（0，3），∴點D的坐標為（2，3）．,探究四：二次函數的圖象及性質的應用,活動3,探究型例題,練習：兩條鋼纜具有相同的拋物線形狀.按照圖中的直角坐標系,左面的一條拋物線可以用 表示,而且左右兩條拋物線關于y 軸對稱．,⑴鋼纜的最低點到橋面的距離是多少？,【解題過程】,解：（1）,因此鋼纜的最低點到橋面的距離是1m.,探究四：二次函數的圖象及性質的應

26、用,活動3,【解題過程】,解：（2）,⑵兩條鋼纜最低點之間的距離是多少？,探究型例題,練習：兩條鋼纜具有相同的拋物線形狀.按照圖中的直角坐標系,左面的一條拋物線可以用 表示,而且左右兩條拋物線關于y 軸對稱．,探究四：二次函數的圖象及性質的應用,活動3,⑴鋼纜的最低點到橋面的距離是多少？⑵兩條鋼纜最低點之間的距離是多少？,【思路點撥】（1）將二次函數解析式配方,求得頂

27、點坐標,從而獲得鋼纜的最低點到橋面的距離;（2）由左右兩條拋物線關于y 軸對稱，得出另一條拋物線解析式，可知它們的頂點坐標，從而求得兩條鋼纜最低點之間的距離。,探究型例題,練習：兩條鋼纜具有相同的拋物線形狀.按照圖中的直角坐標系,左面的一條拋物線可以用 表示,而且左右兩條拋物線關于y 軸對稱．,知識梳理,歸納二次函數y＝ax2＋bx＋c（a,b,c是常數，a≠0）的圖象

28、與性質：,a＞0,(1)當a＞0時，拋物線開口向上，并且向上無限延伸.,(2)對稱軸是直線,頂點坐標為,(3)在對稱軸的左側，即相當于 時，y隨x的增大而減?。?在對稱軸的右側，即相當于 時，y隨x的增大而增大；,簡記為“左減右增”.,(4)拋物線有最低點，當 時，y有最小值，y最小值=,知識梳理,歸納二次函數y＝ax2＋bx＋c（a,b,c是常數，a

29、≠0）的圖象與性質：,a<0,(1)當a<0時，拋物線開口向下，并且向下無限延伸.,(2)對稱軸是直線,頂點坐標為,(3)在對稱軸的左側，即相當于 時，y隨x的增大而增大；,在對稱軸的右側，即相當于 時，y隨x的增大而減?。?簡記為“左增右減”.,(4)拋物線有最高點，當 時，y有最大值，y最大值=,重難點歸納,1.在畫函數圖象時，要在頂

30、點的兩邊對稱取點，畫出的拋物線才能準確反映這個拋物線的特征.,2.拋物線y=ax2+bx+c是以直線 為對稱軸的軸對稱圖形，有以下性質：,(1)拋物線上關于對稱軸對稱的兩點縱坐標相等；拋物線上縱坐標相等的兩點一定關于對稱軸對稱.,(2)如果拋物線交x軸于兩點，那么這兩點一定關于對稱軸對稱.,(3)若設拋物線上關于對稱軸對稱的兩點橫坐標為x1，x2，則拋物線的對稱軸是直線,重難點歸納,3.直接運用公式確定對稱軸和

31、頂點坐標時，不能忽視a，b，c的值的符號。,4.一般式的二次函數圖象的平移法：對于一般式的圖象平移，是先將一般式化成頂點式，再利用“左加右減，上加下減”規(guī)則來求解．,特別提醒：對于一般式的圖象平移，一般式也可以不化成頂點式，只要熟記左加右減在所有的x上加減，上加下減在函數表達式的末尾加減即可．,重難點歸納,5.二次函數 的最大值和最小值可以通過以下幾種方法來解：,(1)配方法：,重

32、難點歸納,(2)公式法：,(3)圖象法：,作出二次函數的圖象，通過圖象可以直觀地觀察到圖象的最高點和最低點，此時的函數值為函數的最大值和最小值.,注意：通過二次函數的最值解答實際問題時，要注意自變量x的取值范圍，要考慮實際問題的需要，有時 的函數值不在函數的取值范圍內.,5.二次函數 的最大值和最小值可以通過以下幾種方法來解：,選擇“《二次函數y=ax2