《曲線凹凸性》ppt課件

1、,第四節(jié),一、曲線的凹凸性與拐點,機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束,二、曲線的漸近線,,曲線的凹凸性與拐點,第三章,函數(shù)作圖,三、函數(shù)作圖,問題:如何研究曲線的彎曲方向?,一、曲線的凹凸性與拐點,,,,,如圖所示曲線弧,,在區(qū)間(a, b)內(nèi)雖然一直上升,,但卻有不同的彎曲狀況.,弧,是向上凹的,,曲線在切線的上方,,弧,是向上凸的,,曲線在切線的下方,,而B是彎曲狀況的,分界點.,定義1 在區(qū)間(a,b)內(nèi),,連

2、續(xù)曲線,如果曲線弧位于其任意一點切線,的上方,,則稱曲線弧在(a,b)內(nèi)是凹的(或凹弧),,此區(qū)間,(a,b)稱為凹區(qū)間;,如果曲線弧位于其任意一點切線,的下方,,則稱曲線弧,此區(qū)間,(a,b)稱為凸區(qū)間;,,,,,,,,,在(a,b)內(nèi)是凸的(或,凸弧),,,,定義2,y =f (x)上凹弧與凸弧的分界點,,稱為曲線y =f (x)的拐點 .,定理2.(曲線凹凸性的判定定理),(1) 若在(a,b)內(nèi),則曲線y=f (x)在(a,b)

3、 內(nèi)是凹的 ;,(2) 若在(a,b)內(nèi),,,設(shè)函數(shù),在區(qū)間(a,b)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù),那么,一階導(dǎo)數(shù)判單調(diào)二階導(dǎo)數(shù)定凸凹,若,定理 設(shè)函數(shù),則 在 (a,b)內(nèi)單調(diào)遞增,(遞減) .,在開區(qū)間 (a,b) 內(nèi)可導(dǎo),,回顧前面所學(xué),,,即,,則曲線y=f (x)在(a,b) 內(nèi)是凸的.,例1. 判定曲線,的凹凸性.,解:,故曲線,在,內(nèi)是凸的.,例2. 判定曲線,在(0,2π)內(nèi)的凹凸性.,解:,令,得,當(dāng),時，

4、,曲線,是凸的；,當(dāng),時，,曲線,是凹的.,點,是曲線,的一個拐點.,例3. 判斷曲線,的凹凸性.,解:,故曲線,在,上是向上凹的.,說明:,1) 若在某點二階導(dǎo)數(shù)為 0 ,,2) 根據(jù)拐點的定義及上述定理, 可得求拐點的步驟如下:,則曲線的凹凸性不變 .,在其兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)不變號,,求拐點的步驟如下:,(1) 確定函數(shù)y = f (x)的定義域;,(2) 求出使,的點和,不存在的點;,(3) 對于(2)中求出的每個點x0,,考察

5、,在點x0左、右,兩側(cè)鄰近的符號,,如果兩側(cè)的符號相反,,則點,是拐點;,如果兩側(cè)的符號相同,,則點,不是拐點.,例4. 求曲線,的凹、凸區(qū)間與拐點.,解 定義域：,,,,,不存在,因此,曲線的拐點 ：,凹區(qū)間:,凹,凸,令,得x =3,,不存在的點為x =2,,2,凸,3,0,,,－4,凹區(qū)間:,凸區(qū)間:,列表,內(nèi)容小結(jié),1. 可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)性判別,,在 I 上單調(diào)遞增,,在 I 上單調(diào)遞減,2.曲線凹凸與拐點的判別,,,拐點,—

6、連續(xù)曲線上的凹凸分界點,.,1. 曲線,的凹區(qū)間是,凸區(qū)間是,拐點為,提示:,及,作業(yè)P128：第一題,;,;,思考與練習(xí),無漸近線 .,點 M 與某一直線 L 的距離趨于 0,,二、 曲線的漸近線,定義3 若曲線 y =f (x)上的動點M 沿著曲線無限遠(yuǎn)離坐標(biāo),原點時,,則稱直線 L 為,曲線y = f (x)的漸近線 .,例如, 雙曲線,有漸近線,但拋物線,,,漸近線分為水平漸近線、鉛直漸近線,和斜漸近線三種.,定義4,(1)若

7、,則稱直線y = b為曲線y = f (x)的一條水平漸近線.,(2)若,則稱直線 x = x0為曲線y = f (x)的一條鉛直漸近線.,(3)若,則稱直線 y = ax +b為曲線y = f (x)的一條斜漸近線.,并由此可推得,例5. 求曲線,的漸近線 .,解:,為水平漸近線;,為鉛直漸近線.,,,該曲線無斜漸近線.,例6. 求曲線,的漸近線 .,解:,所以該曲線有鉛直漸近線,又因,為曲線的斜漸近線 .,所以該曲線沒有水平漸近線.

8、,一階導(dǎo)數(shù)判單調(diào)二階導(dǎo)數(shù)定凸凹,三、函數(shù)作圖,步驟 :,1. 確定函數(shù),的定義域 ,,期性等特性 ;,2. 求,并求出,及,3. 列表判別單調(diào)及凹凸區(qū)間 , 求出極值和拐點 ;,4. 求漸近線 ;,5. 補(bǔ)充函數(shù)圖形上的若干特殊點,為 0 和不存在的點 ;,并考察其奇偶性、周,找出f (x)的間斷點,,6. 綜合上述分析 , 描繪出函數(shù)的圖形.,(如與坐標(biāo)軸的交點等);,例7. 作函數(shù),的圖形.,解: 1) 定義域為,函數(shù)無周期性,

9、,2),3)列表,,(拐點）,(極小),4) 曲線無漸近線,為奇函數(shù),,故只需作出區(qū)間[0,+∞)上的圖形.,得,得,,它的圖形關(guān)于原點對稱,,所以,6) 作圖,5) 特殊點:,曲線與坐標(biāo)軸的交點為,例8. 作函數(shù),的圖形.,解: 1),定義域為,2),又x =－3為f (x)的間斷點.,定義域內(nèi)無,不存在的點和,不存在的點.,3) 判別曲線形態(tài),,,,(極大),(拐點),無定義,,,5) 求特殊點:,,為鉛直漸近線,為水平漸近線,無

10、斜漸近線,4) 求漸近線,曲線與坐標(biāo)軸的交點為,6）作圖,例9. 作函數(shù),的圖形.,解: 1) 定義域為,圖形對稱于 y 軸.,2) 求關(guān)鍵點,,,3) 判別曲線形態(tài),(極大),(拐點),(極大),(拐點),為水平漸近線,5) 作圖,4) 求漸近線,,,,水平漸近線 ; 鉛直漸近線;,內(nèi)容小結(jié),1. 曲線漸近線的求法,斜漸近線,,按作圖步驟進(jìn)行.,2. 函數(shù)作圖,思考與練習(xí),1. 曲線,(A) 沒有漸近線；,(B) 僅有水平漸近