考研數(shù)學(xué)曲線凹凸性及拐點(diǎn)典型題型分析

1、1考研數(shù)學(xué)：曲線凹凸性及拐點(diǎn)典型題型分析考研數(shù)學(xué)：曲線凹凸性及拐點(diǎn)典型題型分析來源：文都教育來源：文都教育在考研數(shù)學(xué)中，高等數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用部分有多個考點(diǎn)，其中之一是曲線的凹凸性和拐點(diǎn)。凹凸性和拐點(diǎn)是函數(shù)圖形的一種特性，從幾何意義上講，凹凸性反映的是曲線的彎曲方向，而拐點(diǎn)則是指曲線的彎曲方向發(fā)生改變的點(diǎn)，從代數(shù)意義上講，凹函數(shù)或凸函數(shù)就是指二階導(dǎo)數(shù)不變號的函數(shù)，當(dāng)然，這里說的不變號一般是相對于某一個區(qū)間而言的。下面文都考研蔡老師對曲線的凹

2、凸性及拐點(diǎn)的判斷方法和典型題型做些分析總結(jié)，供考研的同學(xué)復(fù)習(xí)時參考。一、凹凸性和拐點(diǎn)的判斷方法一、凹凸性和拐點(diǎn)的判斷方法1.凹凸性判斷方法：設(shè)在上連續(xù)，在內(nèi)二階可導(dǎo)，則當(dāng)()fx[]ab()ab()0fx???時，在上的圖形是凹的；當(dāng)時，則在上的圖形是凸的。()fx[]ab()0fx???()fx[]ab2、拐點(diǎn)判斷方法：先求出的點(diǎn)和二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，若函數(shù)在()0fx???0x()fx點(diǎn)的左、右鄰域內(nèi)的二階導(dǎo)數(shù)存在并且符號相反，則是

3、曲線的拐點(diǎn)。0x00(())xfx二、典型題型分析二、典型題型分析例1.設(shè)函數(shù)由參數(shù)方程確定，求的極值和曲線()yyx?3311331133xttytt?????????????()yyx?的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)。()yyx?解：由，得，，，0dydx?1t??22234(1)dytdxt??222211110022ttdydydxdx????????極大值為，極小值為；(1)1y??51()33y??令；當(dāng)，得凸區(qū)間為，當(dāng)221003dyt

4、xdx???得，2200dytdx??時，1()3??3例4.4.函數(shù)具有2階導(dǎo)數(shù)，則在區(qū)間[0，1]上??fx????????011gxfxfx???（）(A)當(dāng)時，.(B)當(dāng)時，0fx??（）????fxgx?0fx??（）????fxgx?(C)當(dāng)時，.(D)當(dāng)時，()0fx???????fxgx?()0fx???????fxgx?解：法1（利用凹凸性）：當(dāng)時，是凹函??0fx????fx數(shù)，而是連接與的直線段，如右圖，此??gx

5、????00f??11f（）時，應(yīng)選(D).????fxgx?法2（利用單調(diào)性）：令則()()()hxgxfx??即，由羅爾定理知，，使，若，則(0)(1)0hh??(01)???()0h???()0fx???單調(diào)遞減，()0()hxhx????當(dāng)時，，單調(diào)遞增，(0)x??()()0hxh?????()hx()(0)0g(x)()hxhfx???即；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，(1)x??()()0hxh?????()hx()(1)0g(x)(