拉格朗日插值算法在工程中的應用

1、拉格朗日插值算法在工程中的應用杜江濤090402 090402104【摘要】 本文簡介拉格朗日插值，它的算法及程序和拉格朗日在實際生活中的運用。運用了拉格朗日插值的公式，以及它在 MATLAB 中的算法程序，并用具體例子說明。拉格朗日插值在很多方面都可以運用，具有很高的應用價值?！娟P鍵詞】算法；作業(yè)；拉格朗日；插值；公式；算法程序；應用；科學。1 前言 前言約瑟夫·拉格朗日(Joseph Louis Lagrange)，法國

2、數(shù)學家、物理學家。他在數(shù)學、力學和天文學三個學科領域中都有歷史性的貢獻，其中尤以數(shù)學方面的成就最為突出。拉格朗日對流體運動的理論也有重要貢獻，提出了描述流體運動的拉格朗日方法。數(shù)據(jù)建模有兩大方法：一類是插值方法，另一類是擬合函數(shù)一般的說，插值法比較適合數(shù)據(jù)準確或數(shù)據(jù)量小的情形。然而 Lagrange 插值有很多種，1 階，2 階,…n 階。我們可以利用拉格朗日插值求方程，根據(jù)它的程序求原方程的圖像。下面我具體介紹分析一下拉格朗日插值的算

3、法設計及應用。2 算法描述 算法描述2.1 插值算法原理已知函數(shù) y=f(x)在若干點 的函數(shù)值 = （i=0,1, ,n）一個差值問題就是求 i x i y ? ? i x f ? ? ?一“簡單”的函數(shù) p(x)：p( )= ,i=0,1, ,n, (1) i x i y ? ? ?則 p(x)為 f(x)的插值函數(shù)，而 f(x)為被插值函數(shù)會插值原函數(shù)， ， ， ，..., 0 x 1 x 2 x n

4、x為插值節(jié)點，式（1）為插值條件，如果對固定點 求 f( )數(shù)值解，我們稱 為一個插值? x? x? x節(jié)點，f( ) p( )稱為 點的插值，當 [min( ， ， ，..., )，max( ，? x ?? x? x? x ? 0 x 1 x 2 x n x 0 x 1 x， ，..., )]時，稱為內插，否則稱為外插式外推，特別地，當 p(x)為不超過 n 次多 2 x n x項式時稱為 n 階 Lagrange 插值。2.2Lag

5、range 插值公式（1）線性插值 ) 1 ( 1 L設已知，及 =f( ) , =f( ), 為不超過一次多項式且滿足 = 0 x1 x 0 y 0 x1 y 1 x ) ( 1 x L ) ( 0 1 x L其中， 位于 ， ， ，..., 及 x 之間（依 ). ( )! 1 () ( ) ( ) ( ) () 1 (x nf x L x f x Rnn n ? ?? ? ? ??? 0 x 1 x 2 x n x賴于 x） ，

6、 (x)= ? ???njj x x0). (Eg1:已知函數(shù)表 sin =0.5000,sin =0.7071,sin =0.8660,分別由線性插值與拋物插值 6?4?3?求 sin 的數(shù)值解，并由余項公式估計計算結果的精度。 92?解：（1）這里有三個節(jié)點，線性插值需要兩個節(jié)點，根據(jù)余項公式，我們選取前兩個節(jié)點，易知：sin ( )=0.5000+ ( - ) 92? ? 1 L 92?6 45000 . 0 7071 . 0?

7、? ??92?6?=0.5000+0.2071 =0.6381 32 ?截斷誤差，= ， ) 92 ( 1? R ) 4 92 )( 6 92 ( 2) (sinx ? ? ? ? ? ? ? ? 3 10 615 . 7 36 18 21 ? ? ? ? ? ? ? ?得 知結果至少有 1 位有效數(shù)字。 . 10 5 . 0 10 615 . 7 1 3 ? ? ? ? ? ? ?（2）易知 sin 92? ?? ? ? 5000 .

8、 0) 3 - 6 )( 4 - 6 () 33 - 92 )( 4 - 92 () 92 ( 2 ? ? ? ?? ? ? ?? L?? ?? ?） ）（ （） ）（ （3 4 6 43 926 92? ? ? ?? ? ? ?0.7071+ = 0.8660=0.6434 8660 . 04 3 6 34 926 92?? ?? ?） ）（ （） ）（ （? ? ? ?? ? ? ?7071 . 0 985000 . 0 92 ?

9、? ? ? ? 91截斷誤差為：? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ?xx R ) 4 92 )( 4 92 )( 6 92 ( 6) (sin ) 92 ( 22 10 861 .. 0 9 36 18 61 ? ? ? ? ? ? ? ? ?得 知結果至少有兩位數(shù)字。 . 10 5 . 0 10 861 . 8 2 4 ? ? ? ? ? ? ?比較本題精確解 sin =0.642787609...,實際誤差限