2n階非線性微分方程組的多解性.pdf

1、本文主要利用非線性泛函分析中的變分法，結(jié)合臨界點理論，特別是Morse理論，研究2n階非線性微分方程組解的存在性、唯一性與多重性，其中F∈C1([0，1]×Rn，R1). 全文共分三章. 第一章簡略介紹了問題(1.1.1)的研究背景、本文的研究方法及得到的主要結(jié)論. 第二章首先證明一些為研究問題(1.1.1)所必備的基本引理，同時也簡單陳述了本文要用到的臨界點理論與Morse理論的相關(guān)知識. 第三章證明了

2、本文的主要結(jié)果.首先利用強單調(diào)映像原理證明問題(1.1.1)解的存在惟一性，并用山路引理證明(1.1.1)非零解的存在性.得到的結(jié)論為定理3.1.1如果存在常數(shù)。α∈[0，1/λ)，對于任意u，v∈Rn和任意的x∈I，使得△u(F(x，u)-F(x，v))·(u-v)≤a｜u-v｜2，則問題(1.1.1)在C(n，I)中有唯一解. 定理3.1.2假設(shè)對任意的x∈I，有F(x，0)=0，而且下列條件滿足： (A1)存在μ∈

3、(0，1/2)及R＞0，對于任意的x∈I且｜u｜≥R，都有F(x，u)≤μ△uF(x，u)·u； (A2)limsuP｜u｜→0F(x，u)/｜u｜2＜1/(2λ1)及l(fā)iminf｜u｜→∞F(x，u)/｜u｜2＞1/(2λ1)關(guān)于xε1一致成立. 則問題(1.1.1)在C(n，1)中至少有一個非零解. 其次，利用臨界群與Morse理論，結(jié)合拓撲度指數(shù)定理證明了問題(1.1.1)至少有兩個非零解，并在非線性項為奇

4、函數(shù)的條件下，證明問題了問題(1.1.1)存在無窮多個解.得到的結(jié)論為定理3.2.1對于任意的xEI，如果F(x，0)；0且△uF(x，0)=0，并且下列條件滿足： (A3)limsuP｜u｜→∞F(x，u)/｜u｜2＜1/(2λ1)對于xε1一致成立； (A4)存在自然數(shù)k≥1使得liminf｜u｜→0F(x，u)/｜u｜2＞(2λk)及l(fā)imsuP｜u｜→0F(x，u)/｜u｜2＜1/(2λk+1)對xε1一致成立.