兩類非線性偏微分方程組解的性質.pdf

1、隨著科學技術的不斷發(fā)展,各種各樣的非線性問題日益引起人們的廣泛關注.非線性偏微分方程源于應用數(shù)學,物理學,控制論等各種應用學科,是目前非線性科學領域中最為活躍的研究課題之一.非線性粘彈性波動方程組和非線性積分微分方程組的初邊值問題是近年來討論的熱點,也是目前偏微分方程中的十分重要的研究領域.
　　 本文共分為兩章.
　　 第一章,我們研究非線性粘彈性波動方程組初邊值問題{utt-△u-△utt∫t0h1(t-s)u(s)

2、ds+k1(u,v)+ut=0,vtt-△v-△vtt+∫t0h2(t-s)u(s)ds+k2(u,v)+vt=0,inΩ×(0,∞),u=v=0,on(6)Ω×(0,∞),u(x,0)=u0(x),ut(x,0)=u1(x),inΩ,{v(x,0)=v0(x),vt(x,0)=v1(x),inΩ,
　　 解的衰減性,其中Ω是Rn(n≥1)中具有光滑邊界的有界區(qū)域,u0,v0,u1,v1是已知函數(shù).松弛函數(shù)h1,h2和非線性項k

3、1(u,v),k2(u,v)滿足下面的條件:(H1)h1,h2:R+→R+是非增的可微函數(shù),且滿足h1(0)>0,1-∫∞0h1(s)ds=ι1>0,h2(0)>0,1-∫∞0h2(s)ds=ι2>0.(H2)存在兩個正常數(shù)ξ1和ξ2使得h'1≤-ξ1h1(t),t≥0,h'2(t)≤-ξ2h2(t),t≥0.(H3)存在非負函數(shù)F(u,v)使得(6)F/(6)u=k1(u,v),(6)F/(6)u=k2(u,v),uk1(u,v)+v

4、k2(u,v)-F(u,v)≥O
　　 并且存在常數(shù)d>O使得|k1(ξ,ζ)|≤d(|ξ|β1+|ζ|β2),(A)(ξ,ζ)∈R2,|k2(ξ,ζ)|≤d(|ξ|β3+|ζ|β4),(A)(ξ,ζ)∈R2,
　　 其中β2≥1,(n-2)β2≤n,I=1,2,3,4.注:存在許多滿足(H3)的例子,如k1=|u|ρ-2u|v|ρ和k2=|v|ρ-2v|u|ρ,
　　 其中當n=1,2時ρ>1,且當n≥3時1<

5、ρ≤(n-1)/(n-2).
　　 本章分三節(jié),在第一節(jié),給出在證明過程中將用到的的幾個重要結果.在第二節(jié),為證明整體解的衰減性而作了若干準備工作.第三節(jié),給出非線性粘彈性波動方程組初邊值問題整體解的衰減性的證明.
　　 第二章,我們研究帶有Neumann或者Dirichlet邊值條件的非線性積分微分方程組(2.1.1)倒時解的惟—性,{ut-div[f((φ)(x,t))|▽u|p-2▽u]=0,inΩT(2.1.1)

6、vt-div[f((φ)(x,t))|▽v|p-2▽v]=0,inΩT,
　　 其中p≥2,Ω是Rn中具有光滑邊界的有界區(qū)域,ΩT:=Ω×(0,T].向量v=(v1,v2,…,vn)是單位外法向量,(φ)(x,t)=∫t0(|▽u|2+|▽v|2)dT,f(z)∈C1[0,+∞),f(z)≥0,f'(z)≤0.
　　 本章共分為兩部分,第一部分研究帶有Neumanm邊界條件的非線性積分微分方程組問題,并且給出相應結論的物