基于梯度重構的后驗誤差估計及自適應有限元方法.pdf

1、本文研究基于梯度重構的后驗誤差估計和相應的自適應有限元方法,首先研究網格對超收斂的影響.超收斂是獲得高精度有限元解的重要工具之一,隨著超收斂在后驗誤差估計和自適應有限元方法中的作用被人們所認識,超收斂重新受到了人們的青睞.但是經典的超收斂結果一般都要求網格滿足一定的強條件,而網格自適應加密則會破壞這些強條件,這就制約了超收斂在自適應方法中的應用,不對有限元網格做任何前提假定,通過研究網格的幾何性質，提煉出可直接計算的網格幾何參數,將誤差

2、估計化為標準的收斂階與網格幾何參數的乘積形式，由網格幾何參數就可判斷此網格上有限元解與有限元插值之間是否具有超收斂現象，數值結果表明給出的幾何參數能夠比較精確的反映網格質量對超收斂階的貢獻。
　　梯度重構是一種重要的后處理方法。一方面,它根據有限元解重新構造高精度的梯度逼近,另一方面,重構的梯度可以用來估計誤差,構造重構型后驗誤差估計來指導網格的自適應加密,基于梯度重構的后驗誤差估計精度高,實現簡單且是魯棒的,因此被工程中廣泛應用

3、,提出了超收斂點團恢復方法(SCR),SCR利用樣本點處的函數值信息最小二乘擬合一個線性函數,這個線性函數的梯度就定義為重構點的梯度.SCR是一個超收斂的梯度重構方法,可以構造后驗誤差估計,給出了數值算例來說明SCR的有效性.還提出了面積調和平均、距離調和平均、角度平均等梯度重構的加權平均方法,分析并比較了新的加權平均格式與簡單平均和面積平均的優(yōu)劣性,對一維問題和矩形元,面積調和平均是超收斂的梯度重構方法,對三角形元,從數值上說明新的加

4、權平均方法可以改進梯度逼近,
　　還研究了DG有限元的界面法向導數的重構,提出了局部L2投影恢復方法.對m(m≤4)次分片多項式,根據L2投影,在界面相鄰子區(qū)域內構造一相同次數(最低一次)的多項式,該多項式在界面處的法向導數就定義為重構的界面法向導數,給出了相應的數值通量格式,對得到的數值通量格式做適當的修正,可得適用于高次元的數值通量格式,并將其應用到DDG方法去求解橢圓偏微分方程.給出了一維和二維的數值算例,數值結果說明L2投