基于梯度重構(gòu)的后驗(yàn)誤差估計(jì)及自適應(yīng)有限元方法.pdf

1、本文研究基于梯度重構(gòu)的后驗(yàn)誤差估計(jì)和相應(yīng)的自適應(yīng)有限元方法,首先研究網(wǎng)格對(duì)超收斂的影響.超收斂是獲得高精度有限元解的重要工具之一,隨著超收斂在后驗(yàn)誤差估計(jì)和自適應(yīng)有限元方法中的作用被人們所認(rèn)識(shí),超收斂重新受到了人們的青睞.但是經(jīng)典的超收斂結(jié)果一般都要求網(wǎng)格滿足一定的強(qiáng)條件,而網(wǎng)格自適應(yīng)加密則會(huì)破壞這些強(qiáng)條件,這就制約了超收斂在自適應(yīng)方法中的應(yīng)用,不對(duì)有限元網(wǎng)格做任何前提假定,通過(guò)研究網(wǎng)格的幾何性質(zhì)，提煉出可直接計(jì)算的網(wǎng)格幾何參數(shù),將誤差

2、估計(jì)化為標(biāo)準(zhǔn)的收斂階與網(wǎng)格幾何參數(shù)的乘積形式，由網(wǎng)格幾何參數(shù)就可判斷此網(wǎng)格上有限元解與有限元插值之間是否具有超收斂現(xiàn)象，數(shù)值結(jié)果表明給出的幾何參數(shù)能夠比較精確的反映網(wǎng)格質(zhì)量對(duì)超收斂階的貢獻(xiàn)。
　　梯度重構(gòu)是一種重要的后處理方法。一方面,它根據(jù)有限元解重新構(gòu)造高精度的梯度逼近,另一方面,重構(gòu)的梯度可以用來(lái)估計(jì)誤差,構(gòu)造重構(gòu)型后驗(yàn)誤差估計(jì)來(lái)指導(dǎo)網(wǎng)格的自適應(yīng)加密,基于梯度重構(gòu)的后驗(yàn)誤差估計(jì)精度高,實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單且是魯棒的,因此被工程中廣泛應(yīng)用

3、,提出了超收斂點(diǎn)團(tuán)恢復(fù)方法(SCR),SCR利用樣本點(diǎn)處的函數(shù)值信息最小二乘擬合一個(gè)線性函數(shù),這個(gè)線性函數(shù)的梯度就定義為重構(gòu)點(diǎn)的梯度.SCR是一個(gè)超收斂的梯度重構(gòu)方法,可以構(gòu)造后驗(yàn)誤差估計(jì),給出了數(shù)值算例來(lái)說(shuō)明SCR的有效性.還提出了面積調(diào)和平均、距離調(diào)和平均、角度平均等梯度重構(gòu)的加權(quán)平均方法,分析并比較了新的加權(quán)平均格式與簡(jiǎn)單平均和面積平均的優(yōu)劣性,對(duì)一維問(wèn)題和矩形元,面積調(diào)和平均是超收斂的梯度重構(gòu)方法,對(duì)三角形元,從數(shù)值上說(shuō)明新的加

4、權(quán)平均方法可以改進(jìn)梯度逼近,
　　還研究了DG有限元的界面法向?qū)?shù)的重構(gòu),提出了局部L2投影恢復(fù)方法.對(duì)m(m≤4)次分片多項(xiàng)式,根據(jù)L2投影,在界面相鄰子區(qū)域內(nèi)構(gòu)造一相同次數(shù)(最低一次)的多項(xiàng)式,該多項(xiàng)式在界面處的法向?qū)?shù)就定義為重構(gòu)的界面法向?qū)?shù),給出了相應(yīng)的數(shù)值通量格式,對(duì)得到的數(shù)值通量格式做適當(dāng)?shù)男拚?可得適用于高次元的數(shù)值通量格式,并將其應(yīng)用到DDG方法去求解橢圓偏微分方程.給出了一維和二維的數(shù)值算例,數(shù)值結(jié)果說(shuō)明L2投