積分型受限最優(yōu)控制問題有限元的后驗誤差估計.pdf

1、山東大學(xué)博士學(xué)位論文積分型受限最優(yōu)控制問題有限元的后驗誤差估計姓名：葛亮申請學(xué)位級別：博士專業(yè)：計算數(shù)學(xué)指導(dǎo)教師：羊丹平;劉文斌20090510山東大學(xué)博士學(xué)位論文效性已成為當(dāng)前科學(xué)與工程計算領(lǐng)域內(nèi)的一個重要課題。為了得到精度更高的數(shù)值解，自適應(yīng)方法的本質(zhì)正是在于通過后驗誤差估計得到的估計子作為加密的標(biāo)準(zhǔn)實現(xiàn)其網(wǎng)格的局部加密。它的實現(xiàn)機(jī)理是在指示子大的地方進(jìn)行網(wǎng)格加密，所以在函數(shù)正則性較差的地方網(wǎng)格點分布較密，正是基于此，指示子對于自適

2、應(yīng)方法是否有效和可靠是非常重要的標(biāo)準(zhǔn)和依據(jù)．關(guān)于指示子有很多種，比如殘量型，分層類型，基于局部平均就是所謂目標(biāo)定向的對偶加權(quán)方法的類型，函數(shù)型誤差控制子等，具體可見【3 ．8 ，9 】．從眾多相關(guān)文獻(xiàn)中可以看到偏微分方程的邊值問題和初邊值問題的自適應(yīng)計算已經(jīng)有了很成熟的應(yīng)用和分析，但是方程的最優(yōu)控制問題方面，自適應(yīng)方法的計算還是屬于初級階段，僅有部分類型的相關(guān)問題有相關(guān)結(jié)論。例如，對于控制不受限的問題，目標(biāo)定向?qū)ε技訖?quán)方法在文獻(xiàn)【1 3

3、 ] 中給出了分析?？刂剖芟尴碌目刂茊栴}的殘量類型的后驗估計可見文獻(xiàn)【3 l ，4 l ，4 4 ，6 l ，6 2 ] 中的結(jié)論．關(guān)于自適應(yīng)網(wǎng)格在計算過程中對有效降低誤差方面的結(jié)論，相關(guān)文獻(xiàn)可見【1 3 ，1 4 ，5 3 ，6 2 1 等．我們發(fā)現(xiàn)在控制有奇性的地方如果網(wǎng)格的分布不合適，將會引起很大的誤差而且這種誤差在后面的計算中不能消除．這里需要指出的是在最優(yōu)控制里廣泛應(yīng)用的僅從狀態(tài)方程推導(dǎo)出的誤差指示子用來求解整個控制問題不一定

4、有效，例如在【1 3 】和【5 3 】中給出．所以迫切需要去尋找針對控制問題有效的指示子．在控制受限時，控制和狀態(tài)有不同的正則性以及各自奇性位置的不同，故放在同一套網(wǎng)格來計算效率較低。進(jìn)而，對應(yīng)多套網(wǎng)格的下的后驗估計即找出不同變量對應(yīng)的不同指示子用來調(diào)整各自的網(wǎng)格變得非常有必要。同時這也使得多套網(wǎng)格下的自適應(yīng)計算可以更有效的進(jìn)行．此方法和思想可用于很多類型控制問題，相關(guān)文獻(xiàn)見[ 4 6 ，5 2 ，4 7 ，5 4 】本篇論文是對受限的

5、最優(yōu)控制問題的殘量型自適應(yīng)有限元方法進(jìn)行了研究．本篇文章分為六個部分：第一章我們利用分片常數(shù)有限元和分片線性不連續(xù)有限元去近似控制，給出了僅僅適用于同一套網(wǎng)格的關(guān)于最優(yōu)控制的自適應(yīng)方法和后驗誤差估計．第二章我們給出了適用于多套網(wǎng)格的關(guān)于最優(yōu)控制的等價的H 1 的后驗誤差估計．雖然之前【4 6 】曾經(jīng)給出了關(guān)于逐點型控制受限的多套網(wǎng)格的后驗誤差估計，但是由于問題的限制和處理方法的要求，其中間的日1 范數(shù)需要增加一個量e 來保證其后驗估計的

6、等價性．本章的創(chuàng)新點是給出的關(guān)于積分型的H - 范數(shù)的后驗誤差估計確實是等價的估計，其等價性并不需要其他的項來保證．第三章我們給出了適用于多套網(wǎng)格的關(guān)于最優(yōu)控制的等價的三2 的后驗誤差估計．本章的創(chuàng)新點是這是關(guān)于控制問題等價的三2 范數(shù)后驗估計．雖然本文處理的是積分型控制受限，但是所用方法可以推廣到逐點型，乃至各種其他類型的控制問題．第四章我們利用非協(xié)調(diào)元處理積分型狀態(tài)受限最優(yōu)控制問題，并且給出了其先驗和后驗誤差估計．本章的創(chuàng)新點是我們