圖的能量和譜寬.pdf

1、在化學(xué)領(lǐng)域,共軛碳?xì)浠衔锏男纬傻膶?shí)驗(yàn)熱度與總的π-電子能量緊密相關(guān)。在HMO近似結(jié)構(gòu)下,對(duì)所有共軛碳?xì)浠衔锏摩?電子的總能量的估算可以歸結(jié)為對(duì)E=E(G)=n∑i=0｜λi｜ (0.0.1)的估算,這里λi是對(duì)應(yīng)分子圖G的特征值。對(duì)所有圖我們也同樣定義等式(0.0.1)右邊。如果G是任意的一個(gè)圖,我們利用上面等式來(lái)定義E(G)并稱之為圖G的能量。圖的譜寬被定義為s(G)=maxi,j｜λi-λj｜,這里的最大是遍歷所有對(duì)圖G的特征值

2、。作為圖G的一個(gè)不變量,譜寬與其它不變量之間有許多聯(lián)系?？袒瘽M足某些給定條件和具有極值譜寬的圖是譜寬研究的一個(gè)重要方向。本博士論文的主要任務(wù)是考慮圖的能量和譜寬。 本文的2.1節(jié)我們討論在所有連通的(n,m)二部圖(也就是有n個(gè)頂點(diǎn)和m條邊的二部圖)中能量最小的圖。設(shè)Bn,m是一個(gè)具有n個(gè)頂點(diǎn)m條邊的連通二部圖,且在它的一個(gè)僅由兩個(gè)頂點(diǎn)構(gòu)成的部中,有一個(gè)頂點(diǎn)與另一部其它點(diǎn)都相鄰,剩下的邊與另一個(gè)頂點(diǎn)關(guān)聯(lián)。設(shè)B'n,m是在Bn-1

3、,m-1的第二大度點(diǎn)上連-懸掛邊而成的圖。在這一節(jié)我們首先完全解決了由Capoossi等人提出的關(guān)于具有最小能量的二部圖猜想,證明了在所有連通的(n,m)二部圖(n≤m≤2(n-2))中Bn,m是能量最小的圖。其次,當(dāng)n≤m≤2(n-2)時(shí),對(duì)于連通(n,m)二部圖我們給出了能量的一個(gè)下界：E(G)≥2√m+2√(m-n+2)(2n-m-4),上式等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)G≌Bn,m。最后,我們還證明了當(dāng)n≤m≤2n-5時(shí),B'n,m是能量第二

4、小的(n,m)二部圖。 1999年張?；屠顟讯鞔_定了在所有含n個(gè)頂點(diǎn)且有完美匹配的樹(shù)中能量最小的樹(shù)。本文的2.2節(jié)我們考慮含2k個(gè)頂點(diǎn)且具有完美匹配的單圈圖。設(shè)U(k)是所有具有2k個(gè)頂點(diǎn)和完美匹配的單圈圖的集合,M(G)是圖G的一個(gè)完美匹配。設(shè)U0(k)是U(k)的一個(gè)子圖類,是由U(k)中所有g(shù)(G)≡0(mod4),且M(G)中恰有g(shù)/2條邊在Gg(G)中,G\g(G)中還有一些E(G)\M(G)的邊的圖所構(gòu)成的圖集。在

5、2.2節(jié)我們分別確定了U*(k)=U(k)\U0(k)中能量最小,第二小的圖和U0(k)中能量最小的圖。最后,我們給出了一個(gè)U(k)中能量最小的圖的猜想。設(shè)Bn是二部雙圈圖中所有不是由兩個(gè)圈Ca和Cb(a,b≥10且a≡b≡2(mod 4))連一邊而成的圖的集合。設(shè)Pn6,6是由兩個(gè)圈長(zhǎng)為六的圈連一條n-10頂點(diǎn)的路而成的圖。在第二章的第三部分我們部分解決了由Gutman等人提出的最大能量圖的猜想,證明了Pn6,6是Bn中能量最大的圖。

6、 在第二章的第四節(jié)我們考慮了它們的能量不超過(guò)頂點(diǎn)數(shù)的連通圖(我們稱之為次能量圖),證明了在具有最大度不超過(guò)3的樹(shù)中除了四棵樹(shù)之外不再有次能量樹(shù),部分解決了Gutman近來(lái)提出的一個(gè)問(wèn)題。 近來(lái),Gregory等人對(duì)所有n個(gè)頂點(diǎn)m條邊和k個(gè)正的特征值的圖給出了譜寬的一個(gè)上界,并刻化了達(dá)到上界的圖。令V(n,k)表示最大匹配為k有n個(gè)頂點(diǎn)所有單圈圖的集合,U*(n,k)是U(n,k)中不含三圈的圖所構(gòu)成的子集合。在3.1節(jié)我

7、們分別確定了在U*(n,k)中譜半徑最大,次大的圖和U(n,k)中譜寬最大的圖。 我們表示Bn為所有n個(gè)頂點(diǎn)的雙圈圖的集合,Bn1為Bn中恰有三個(gè)圈的子圖集,設(shè)Bn2=Bn\Bn1,是Bn中所有恰有兩個(gè)邊不交的圈的圖所構(gòu)成的圖集。在3.2節(jié)我們首先分別確定了在Bn1中最小特征值最小,第二小的圖,Bn2中最小特征值最小的唯一圖和Bn中最小特征值最小,第二小,第三小的圖。然后我們分別確定了Bn1,Bn2中譜寬最大的圖和Bn中譜寬最大