組合學中的單峰型問題.pdf

1、單峰型問題是組合學中基本的研究課題之一，其內(nèi)容包括單峰性、對數(shù)凹性、對數(shù)凸性和PF性質(zhì)的研究等.因PF性質(zhì)蘊涵單峰性和對數(shù)凹性，且有限PF序列可由其發(fā)生函數(shù)只具有實零點來刻畫，故多項式實零點性的研究是單峰型問題中的一個重要的組成部分(這項研究本身也是數(shù)學學科中的經(jīng)典問題之一).因此關(guān)于PF性質(zhì)和對數(shù)凸性的研究是單峰型問題中的主要內(nèi)容.本文分別統(tǒng)一地給出多項式序列具有實零點性以及組合序列具有對數(shù)凸性的判別方法，具體內(nèi)容如下。 第一

2、部分研究多項式序列只具有實零點的問題.雖然在以往的研究過程中已經(jīng)有許多關(guān)于多項式實零點性的經(jīng)典結(jié)果，但是本文旨在對遞歸多項式的實零點性作出統(tǒng)一的處理.基于零點交替的方法給出遞歸的多項式序列只具有實零點的充分條件，根據(jù)這些條件能由已知的只具有實零點的多項式得到新的只具有實零點的多項式，所建立的方法能統(tǒng)一許多經(jīng)典問題的證明，包括正交多項式、圖的匹配多項式、Narayana多項式、Bell多項式和Eulerian多項式等的實零點性；還給出多項

3、式矩陣保持交替性的充分條件，作為應用能證明Stahl關(guān)于某些圖的虧格多項式的實零點性的猜想并能解決其提出的公開問題。 第二部分對組合序列的對數(shù)凸性做出了較為系統(tǒng)的研究.雖然序列的對數(shù)凸性等同于其倒數(shù)序列的對數(shù)凹性，但是對數(shù)凸性與對數(shù)凹性的研究之間有著本質(zhì)的區(qū)別.首先給出保持對數(shù)凸性的算子，包括對應項加和、二項式卷積以及由二項式系數(shù)、兩類Stirling數(shù)決定的線性變換等；其次給出滿足三項遞歸關(guān)系的序列具有對數(shù)凸性的充分條件，由此