基于參變量求導的一類可積系統(tǒng)在多項式擾動下I(h)零點個數(shù)的估計.pdf

1、平面可積系統(tǒng)對應(yīng)的Abel積分的構(gòu)造及其零點個數(shù)的研究具有深刻的理論意義和廣泛的應(yīng)用背景.這方面的研究與弱Hilbert第16問題緊密相關(guān).本文利用常微分方程定性理論和分支理論的方法，研究當2(a20-a02)a10a01-a11(a210-a201)=0時，系統(tǒng){(x)=-yf(x，y)+εp(x，y)(y)=xf（x，y）+εq(x，y）的Abel積分的零點個數(shù).其中f（x，y）=[a20x2+ a11xy+a02y2+ a10x+

2、a01y+a00]k, a00≠0，p(x，y)，q（x，y）為關(guān)于x，y的次數(shù)不超過n的實多項式.
　　本文的主要內(nèi)容概括如下:
　　第一章介紹了本課題的研究背景、研究進展以及本文的主要研究結(jié)果.
　　第二章首先通過坐標變換，將研究的系統(tǒng)標準化為{dx/dt=-yf(x，y)+εp(x，y)dy/dt=xf(x，y)+εq（x，y）其中f(x，y)=(y2+(A+1)x2+ Bx+ C)k，C≠0，p（x，y），q(

3、x，y)為關(guān)于x，y的次數(shù)不超過n的實多項式.然后給出了標準化系統(tǒng)對應(yīng)的Abel積分，并在本章末介紹了本文的一些常用符號.
　　第三章主要研究非退化的情形，即A·B≠0時，Abel積分零點個數(shù)的上界.本章對n+1分奇偶兩種情況，首先將Abel積分轉(zhuǎn)化為兩類積分:一類是可以直接計算出來的積分，即I*0和I*1;另一類雖然不可以直接計算，但是可以將其轉(zhuǎn)化為I*0和I*1對參變量C的各階偏導，進而得到了命題3.3和命題3.9.為了計算A

4、bel積分，本文利用數(shù)學歸納法得到了I*0和I*1對參變量C的各階偏導，并代入到Abe1積分中，通過移項，平方的方法去掉分母和根號，將Abel積分變?yōu)橐粋€多項式，進而利用代數(shù)學基本定理估計Abel積分的零點個數(shù).本章的研究方法為第四章的研究提供了思路，也為解決復雜的可積系統(tǒng)的Abel積分零點個數(shù)的上界問題提供了一種途徑.
　　第四章研究退化的情形，即AB=0時，Abel積分零點個數(shù)的上界.A·B=0分為三種情況:A≠0，B=0;A

5、=0，B≠0;A=0，B=0.對于前兩種情形，本文沿用第三章的研究方法，將Abel積分轉(zhuǎn)化為兩類積分:I0以及I0對參變量C的各階偏導，分別得到了命題4.2和命題4.5、命題4.8.然后利用數(shù)學歸納法計算I0對參變量C的各階偏導，只是當A=0，B≠0時，計算I0要分為B2-4C≠0和B2-4C=0兩種情況，然后將其變?yōu)橐粋€多項式，再利用代數(shù)學基本定理估計Abel積分的零點個數(shù);對于A=0，B=0的情形，可以直接計算Abel積分，估計零點

6、個數(shù).
　　對于標準化系統(tǒng)，本文記H(n)為圍繞原點的周期環(huán)域分叉出的極限環(huán)個數(shù)，則
　　(i)若A·B≠0，則H(n)≤2n+8k-5;
　　(ii)若A≠0，B=0，則H(n)≤{+2k-3，當k≤[(n+1)/2]時[(n-1)/2]+k-2，當k＞[（n+1）/2]時;
　　(iii)若A=0，B≠0，且B2-4C≠0，則H(n)≤{2n+2k-1，當k≤n+1時n+k-1,當k＞n+1時;
　　(