一類三次哈密頓系統(tǒng)在五次多項(xiàng)式擾動(dòng)下的分支問題.pdf

1、有關(guān)奇異環(huán)分支出極限環(huán)個(gè)數(shù)的問題是分支理論的重要課題之一,本文討論了一類具有四個(gè)雙曲鞍點(diǎn)和五個(gè)中心奇點(diǎn)的三次哈密頓系統(tǒng),存在一個(gè)由四個(gè)鞍點(diǎn)和連接它們的異宿軌道組成的奇異環(huán)S(4)及四個(gè)分別由兩個(gè)鞍點(diǎn)和連接它們的異宿軌道組成的奇異環(huán)S(2).利用定性分析和分支理論的方法,借助于計(jì)算機(jī)軟件,對(duì)這類三次哈密頓系統(tǒng)在五次多項(xiàng)式擾動(dòng)下的奇異環(huán)分支問題進(jìn)行了研究.第1章介紹了奇異環(huán)的研究現(xiàn)狀及本文的主要結(jié)論:即系統(tǒng)在適當(dāng)?shù)臄_動(dòng)下至少可產(chǎn)生14個(gè)極限

2、環(huán)并給出了它們的分布.其中為實(shí)參數(shù).第2章為預(yù)備知識(shí),首先考慮上述系統(tǒng)在五次齊次多項(xiàng)式下的擾動(dòng),即此時(shí)P(x,y)=為實(shí)參數(shù).系統(tǒng)經(jīng)過平移變換后,五次擾動(dòng)多項(xiàng)式可化為然后再計(jì)算出系統(tǒng)在各異宿軌道的Melnikov函數(shù)以及在焦點(diǎn)處的跡.第3章首先給系統(tǒng)一個(gè)適當(dāng)?shù)臄_動(dòng)δ1由三個(gè)奇異環(huán)S(2)的穩(wěn)定性與對(duì)應(yīng)焦點(diǎn)穩(wěn)定性相同,由Poincare-Bendixon環(huán)域定理知在三個(gè)焦點(diǎn)外側(cè)鄰域至少各產(chǎn)生一個(gè)極限環(huán);給系統(tǒng)一個(gè)更小的擾動(dòng)δ2,0<

3、‖δ2|《|δ2‖,使其產(chǎn)生一個(gè)雙同宿環(huán)和過三個(gè)鞍點(diǎn)的異宿環(huán)S(3)且環(huán)的穩(wěn)定性與焦點(diǎn)的穩(wěn)定性相同,從而由Poincare-Bendixon環(huán)域定理知,系統(tǒng)在奇異環(huán)內(nèi)側(cè)鄰域至少各產(chǎn)生一個(gè)極限環(huán);繼續(xù)給系統(tǒng)一個(gè)更小的擾動(dòng),δ3,0<‖δ3|《‖δ2‖《‖δ1‖,使過三點(diǎn)的異宿環(huán)S(3)破裂產(chǎn)生過兩點(diǎn)的異宿環(huán)S(2)且穩(wěn)定性發(fā)生改變,同時(shí)產(chǎn)生一個(gè)同宿環(huán)目.環(huán)的穩(wěn)定性與焦點(diǎn)的穩(wěn)定性相同,由Poincare-Bendixon環(huán)域定理知奇異

4、環(huán)內(nèi)側(cè)鄰域至少各產(chǎn)生個(gè)極限環(huán);再給系統(tǒng)一個(gè)更小的擾動(dòng)δ4,0<|δ1‖《‖δ3|《|δ2|《|δ1‖,使過兩點(diǎn)的異宿環(huán)破裂產(chǎn)生同宿環(huán)且穩(wěn)定性發(fā)生改變,則由Poincare-Bendixon環(huán)域定理在奇異閉軌內(nèi)側(cè)鄰域至少產(chǎn)生一個(gè)極限環(huán);最后給系統(tǒng)一個(gè)更小的擾動(dòng)δ5,0<‖δ5|《δ4‖《‖δ3《|δ2‖《‖δ1‖,使所有同宿環(huán)適當(dāng)破裂,從而構(gòu)成環(huán)域,再由Poincare-Bendixon環(huán)域定理在同宿環(huán)內(nèi)側(cè)鄰域至少各產(chǎn)生一個(gè)極