非線性人工邊界條件.pdf

1、在科學和工程計算中，當數(shù)值求解無界區(qū)域上的偏微分方程的時候，通常需要引進人工邊界將無界區(qū)域截斷為有限的計算區(qū)域，同時在人工邊界上設置合適的人工邊界條件，從而將無界區(qū)域上的問題簡化到有界計算區(qū)域上進行數(shù)值計算．人工邊界方法在科學計算的許多領域里都具有非常重要的意義，比如彈性力學，流體力學，聲學，電磁學，量子力學等等．近幾十年來，大量的文獻從各個方面對人工邊界方法進行了廣泛的研究，針對不同的問題設計人工邊界條件，分析它的數(shù)值離散格式的穩(wěn)定性

2、和解的誤差估計，從而使人工邊界方法逐步發(fā)展成為除無限元方法，邊界積分方法和邊界元方法等方法外數(shù)值求解無界區(qū)域上偏微分方程的重要方法． 近些年來，人工邊界方法的主要研究方向包括解析邊界條件非局部算子的快速計算，高階局部邊界條件的構造，復雜區(qū)域和多維空間上的人工邊界條件，以及非線性問題的人工邊界條件等等．本文主要研究無界區(qū)域上非線性偏微分方程的人工邊界條件．這一領域在當前尤其受到研究者特別的關注．由于大部分當前常用的研究技巧都只適合

3、于線性問題，比如Laplace/Fourier變換和級數(shù)展開等，這些技巧通常不能直接推廣到非線性情形，因而，對于非線性方程，必須尋找一些特殊的方法和技巧．本文在下列三個方面對無界區(qū)域上非線性偏微分方程的非線性人工邊界條件的研究取得了進展： 首先，我們研究了非線性Schrodinger (NLS)方程的吸收邊界條件，這也是本文的研究重點．NLS方程的吸收邊界條件的構造近些年來受到了廣泛的重視，近幾年陸續(xù)提出了一些有效的處理方法，比

4、如利用反散射理論來求解三次NLS方程和利用完全匹配層(PML)方法等等．本文著重于局部的吸收邊界條件，在人工邊界附近引入局部時間分裂技巧，然后對分裂后的線性部分引入Fourier變換，得到單向波傳播方程．另一方面，對于線性部分，為了提高邊界條件的精度，我們還引入了窗口Fourier變換的方法來捕捉邊界附近的主要波數(shù)，從而使局部吸收邊界條件能夠自適應的隨著波包的頻域信息進行調(diào)節(jié)，達到比較理想的吸收效果．在這一部分的最后，我們還將這種分裂的

5、吸收邊界條件應用于激光與原子的相互作用領域． 其次，在第二部分討論一些特殊的非線性方程的解析人工邊界條件，我們將研究無界區(qū)域上Burgers方程和確定性的KardaJr-Parisi-Zhang方程．通過應用Cole-Hopf變換，這兩類方程可以與熱傳導方程相聯(lián)系，因而采用構造無界區(qū)上熱傳導方程的技巧可以得到它們的準確非線性人工邊界條件．所得到的人工邊界條件為非局部的形式．對于Burgers方程，主要討論一維問題，同時我們給出了

6、等價的有界區(qū)域問題的穩(wěn)定性分析結(jié)果．而對于后一類方程，我們分別給出了一到三維問題的人工邊界條件的形式． 最后，本文將討論人工邊界條件在孤立子求解中的應用．在許多物理應用中，比如水波，希望得到孤立波解形式的解．求解這些問題都需要考慮特征值問題，而其實際上也是無界區(qū)的問題．在這一部分，我們只做了很基礎的研究，以廣義KdV方程為例數(shù)值求孤立子解，引出求解這類問題的主要思想．由于一般的廣義KdV方程很難通過常用的解析工具求得孤立子解，所

7、以稱所得到的解為數(shù)值孤立子．我們同時利用這些數(shù)值孤立子研究它們之間的碰撞行為，從而可以了解一些非線性色散的機制． 人工邊界方法在最近三十年吸引了很多數(shù)學家和工程師的廣泛關注，引申出了許多極具挑戰(zhàn)性同時又非常重要的課題，包括超奇異積分的計算及收斂性，多維和復雜區(qū)域問題的人工邊界條件，以及本文討論的非線性問題．在這些問題中，有些技巧已民日趨成熟并應用于實際的工程和科學計算，而有些則剛剛開始發(fā)展起來．由于非線性問題的復雜性，很多非線性