強阻尼波動方程和強阻尼有限格點系統(tǒng)的漸近行為.pdf

1、本文主要研究自治和非自治強阻尼波動方程及其空間離散的強阻尼差分方程(格點系統(tǒng))的解的漸近行為，考慮吸引子的存在性、維數(shù)估計及其結(jié)構(gòu)． 在第一章，闡述了動力系統(tǒng)理論的背景以及無窮維動力系統(tǒng)和有限格點系統(tǒng)的研究概況．介紹了有阻尼波動方程的解的動力學行為的研究情況與本文的主要研究成果． 在第二章，考慮齊次Neumann邊界條件下自治強阻尼波動方程的動力學行為．利用空間平均方法，通過漸近自治微分方程的極限集的性質(zhì)，證明了在一定的

2、參數(shù)范圍內(nèi)，系統(tǒng)存在一維全局吸引子，是一條水平曲線． 在第三章，考慮二階強阻尼有限格點系統(tǒng)的動力學行為，其中耦合算子是非負定對稱的。首先，我們證明了全局吸引子的存在性，并且得到了其Hausdorff維數(shù)的上界，同時證明了此上界對于大的強阻尼是保持有界的。其次，利用限制水平曲線和旋轉(zhuǎn)數(shù)理論，我們證明了當阻尼項是線性的和強阻尼適當大時，系統(tǒng)存在無界一維全局吸引子，是一條限制水平曲線． 在第四章，研究具有與時間有關(guān)的外力的非自

3、治強阻尼波動方程的一致吸引子的漸近行為．首先，我們證明了如果與時間有關(guān)的函數(shù)是平移緊的，系統(tǒng)存在一致吸引子，并且此吸引子在一定的參數(shù)域，具有一個簡單的結(jié)構(gòu)：它是方程的唯一的有界完全軌道的所有值的閉包，且指數(shù)吸引任意的其他解．其次，在一定的參數(shù)范圍內(nèi)，我們得到一致吸引子的Kolmogorovε-熵和分形維數(shù)的一個上界估計．最后，我們考慮具有迅速振蕩外力g<'ε>(x，t)=g(x，t，t/ε)，當ε→0<'+>時，g<'ε>(x，t)具有

4、平均振蕩外力g<'0>(x，t)的強阻尼波動方程。我們證明了原方程的一致吸引子A<,ε>和平均方程的一致吸引子A<,0>之間的Hausdorff距離小于O(ε<'1/2>)．特別地，我們指出得到的結(jié)論可以用于研究有阻尼波動方程。 在第五章，一方面，考慮齊次Neumann邊界條件下非自治強阻尼波動方程的全局吸引子的存在性。利用漸近時間周期微分方程的極限集的性質(zhì)，證明了在一定的參數(shù)范圍內(nèi)，齊次Neumann邊界條件下強阻尼波動方程存

5、在一維全局吸引子，并且是一條水平曲線．另一方面，考慮齊次Dirichlet邊界條件下非自治時間周期受迫力強阻尼非線性波動方程的全局周期吸引子的存在性。通過建立與該問題等價的一階發(fā)展方程，利用引入與通常范數(shù)等價的新范數(shù)的方法，證明了在一定的參數(shù)范圍內(nèi)，強阻尼波動方程的狄氏問題對于任意非自治時間周期受迫力具有唯一的指數(shù)吸引有界集的周期解，即全局周期吸引子． 在第六章證明了具有黏彈性和熱黏彈性的方程組在Dirichlet邊界條件下，對