模M有限直和的clean性.pdf

1、設(shè)環(huán)R是有單位元的環(huán)，若環(huán)R中的元素a=e+u，其中e是環(huán)R中的冪等元，u是環(huán)R中的單位，那么稱(chēng)a是clean的.若環(huán)R每個(gè)元素都是clean的，那么稱(chēng)環(huán)R是clean環(huán).clean環(huán)是一類(lèi)重要的環(huán)，clean環(huán)的研究思想來(lái)源于模消去性問(wèn)題，1977年Nieholson在研究環(huán)的exchange性時(shí)首次提出了clean環(huán)的概念.并且證明了每個(gè)clean環(huán)都是exchange環(huán).進(jìn)一步有，冪等元都是中心冪等元的環(huán)R是clean環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)環(huán)

2、R是exchange環(huán).1994年Camillo和Yu給出了一個(gè)重要反例，說(shuō)明了exchange環(huán)不一定是clean環(huán).證明了半完全環(huán)和幺正則環(huán)都是clean的.當(dāng)環(huán)不含無(wú)限正交冪等元時(shí)，半完全環(huán)，clean環(huán)和exchange環(huán)是等價(jià)的.
　　眾所周知,連續(xù)模一定是擬-連續(xù)模，擬-內(nèi)射模是連續(xù)的.Mohamed和Müiller證明了由Crawley和Jónsson定義的連續(xù)模滿足exchange性質(zhì).Warfield證明了模M有

3、exchange性質(zhì)當(dāng)且僅當(dāng)模M的自同態(tài)環(huán)是exchange環(huán).1994年，Mohamed和Müller的結(jié)果等價(jià)于連續(xù)模的自同態(tài)環(huán)是exchange環(huán).2006年，Nicholson等人給出了clean模的定義，并且證明了連續(xù)模是clean的.1994年，Dung和Smith給∑-CS下了定義，稱(chēng)模M是∑-CS的，若模M的任意直和是CS的.根據(jù)模∑-CS的定義，考慮模M的任意直和是clean的這類(lèi)模，而這種模類(lèi)很大，可以從模M有限直和

4、(比如n個(gè)模M的直和)是clean的這類(lèi)模入手，本文主要討論的是模M有限直和的clean性.
　　第一部分是引言,第二，三部分是文章的主體部分，最后部分是結(jié)束語(yǔ).
　　第一章主要介紹了本文的研究背景和意義，給出了一些與本文密切相關(guān)的定義.如clean環(huán)和clean模的定義等.
　　第二章是對(duì)模M有限直和的clean性的討論.我們知道有限個(gè)clean模的直和是clean的.反之不一定，對(duì)于一些特殊的模，比如有有限不可分解

5、的模，擬-連續(xù)模,quasi-discrete模，如果這些模的直和是clean的，那么可以證明這些模也是clean的.本章的主要結(jié)果如下:
　　定理2.5若模M有有限不可分解的分解,那么模M是n-∑-clean的(即M(n)=M⊕…⊕ M是clean的)當(dāng)且僅當(dāng)模M是clean的.
　　定理2.10若模M是擬-連續(xù)模，那么模M(n)=M⊕…⊕M是clean的當(dāng)且僅當(dāng)模M是clean的.
　　定理2.18若模M是quas

6、i-discrete的,那么模M(n)=M⊕…⊕ M是clean的當(dāng)且僅當(dāng)模M是clean的.
　　第三章是討論某些滿足條件(D1)的模的clean性.在探究模M有限直和的clean性的過(guò)程中，我們發(fā)現(xiàn)了一些滿足條件(D1)的模是clean模.本章的主要結(jié)果如下:
　　命題3.3滿足條件(D1)的Rickart模是clean的.
　　命題3.4滿足條件(D1)的endoregular模是clean的.
　　命題3