關(guān)于圖能量的若干問(wèn)題的研究.pdf

1、在化學(xué)中，圖論有許多重要應(yīng)用，特別是圖的特征值和共軛碳?xì)浠衔镏笑?電子的分子軌道能量級(jí)之間有著緊密對(duì)應(yīng)。在量子化學(xué)理論初期，大多數(shù)共軛碳?xì)浠衔锏摩?電子的總能量E，在休克爾分子軌道近似下，可用下面的公式進(jìn)行估算E=E(G)=n∑i=1|λi|這里，λi表示共軛碳?xì)浠衔锏姆肿訄DG的特征值。注意到，對(duì)一般圖我們均可定義等式(0.1)的右邊。于是，對(duì)任一給定的圖G，我們可以用上面等式來(lái)定義圖G的能量。
　　 自1977年著名數(shù)學(xué)

2、化學(xué)家Gutman提出圖能量的理論，圖能量，特別是圖能量中極值圖的刻畫，已是圖論研究的活躍方向之一，并引起了理論化學(xué)家和數(shù)學(xué)家廣泛關(guān)注。進(jìn)入新世紀(jì)后它更是得到長(zhǎng)足地發(fā)展，許多重要結(jié)論相繼被發(fā)現(xiàn)。在極值圖能量研究中擬序關(guān)系“()”是一個(gè)重要和常用的工具(擬序，即，如果兩個(gè)圖的特征多項(xiàng)式所有對(duì)應(yīng)系數(shù)比較時(shí)，它們的符號(hào)滿足一致性，那么我們就稱這兩個(gè)圖滿足擬序關(guān)系。)。但是隨著研究的不斷深入，出現(xiàn)了大量用擬序關(guān)系不能解決的極值能量問(wèn)題。我們稱之

3、為擬序不可比問(wèn)題。我們充分利用Coulson積分公式，并結(jié)合分析、代數(shù)和組合方法，成功地解決了一系列這類極值能量問(wèn)題。
　　 令G為一個(gè)具有n個(gè)頂點(diǎn)m條邊的連通簡(jiǎn)單圖。圖G的基本圈數(shù)定義為c(G)=m-n+1。通過(guò)圖的基本圈數(shù)，分別稱滿足條件c(G)=0，1，2或3的圖為無(wú)圈圖(或樹)、單圈、雙圈和三圈圖。
　　 2001年，Gutman和Vidovic提出猜想：如果n≥16和n=14，雙圈圖中具有極大能量圖是圖P6，6

4、n。P6，6n表示由兩個(gè)長(zhǎng)度為6的圈通過(guò)一條Pn-12路連接而成的圖。Rn-t，t表示長(zhǎng)度分別為n-t和t的兩個(gè)圈通過(guò)一條邊連接而成的圖。2007年，Li和Zhang在二部雙圈圖中證實(shí)了上面的猜想，但是沒(méi)有排除圖Rn-t，t。因?yàn)閳DRn-t，t和圖P6，6n是擬序不可比的。在2.1.1節(jié)，我們完全解決了這一問(wèn)題。即，圖P6，6n在二部雙圈圖中具有極大能量。在2.1.2節(jié)，關(guān)于一般的雙圈圖，我們進(jìn)一步研究這個(gè)極值能量的公開問(wèn)題，并在()n

5、圖類中證實(shí)了以上猜想。
　　 2008年，Liu等人在圖類()(n)中得到了極小能量圖。但是在擬序不可比的兩個(gè)圖中，他們沒(méi)能確定哪個(gè)具有極小能量。在2.2.1節(jié)，我們徹底解決了這個(gè)難題。
　　 2008年，Wei考慮了()n圖類中的極值圖問(wèn)題，但是在能量排序中，發(fā)現(xiàn)具有第二小能量圖是兩個(gè)擬序不可比的兩個(gè)圖之一。在2.2.2節(jié)，我們完全刻畫了這個(gè)問(wèn)題，并得到了從第一小到第七小的極值圖。
　　 1999年，Capor