壓縮感知和矩陣填充及其在信號(hào)處理中應(yīng)用的研究.pdf

1、壓縮感知和矩陣填充都是稀疏約束下的反問(wèn)題，壓縮感知利用信號(hào)本身或在變換域中的稀疏約束性求解欠定方程，矩陣填充利用矩陣的低秩約束性求解欠定方程。壓縮感知理論的核心問(wèn)題是信號(hào)的稀疏表示、觀測(cè)矩陣的設(shè)計(jì)和重構(gòu)算法，信號(hào)本身或在變換域中的系數(shù)越稀疏，觀測(cè)矩陣和稀疏基構(gòu)成的壓縮感知矩陣的受限等距常數(shù)越小，則壓縮感知的性能越好。矩陣填充理論的核心問(wèn)題是矩陣的低秩特性、非相干特性和重構(gòu)算法，尋找性能良好的重構(gòu)算法一直是矩陣填充理論中的一個(gè)研究重點(diǎn)。此

2、外，壓縮感知的應(yīng)用領(lǐng)域已經(jīng)拓展得較為廣泛，但矩陣填充的應(yīng)用尚處于起步階段，挖掘矩陣填充的應(yīng)用，進(jìn)而將矩陣填充和壓縮感知結(jié)合起來(lái)進(jìn)行應(yīng)用方面的探索，是非常重要和有意義的課題。本文的主要工作和創(chuàng)新如下：
　?。?）研究壓縮感知和矩陣填充的重構(gòu)算法，改進(jìn)矩陣填充的重構(gòu)定理。重構(gòu)算法是壓縮感知和矩陣填充的重要組成部分，重構(gòu)算法的優(yōu)劣直接影響壓縮感知和矩陣填充的性能。本文首先分析了壓縮感知中的BP算法、OMP算法、CoSaMP算法、SP算法

3、和IHT算法，矩陣填充中的SVT算法、ADMiRA算法和SVP算法。實(shí)驗(yàn)表明，壓縮感知中的BP算法和矩陣填充中SVP算法的重構(gòu)性能明顯優(yōu)于其它幾種重構(gòu)算法。本文其次分析了矩陣填充的重構(gòu)定理，指出定理需要兩個(gè)參量，參量的數(shù)目較多且取值不易確定。本文在原有重構(gòu)定理的基礎(chǔ)上，結(jié)合矩陣填充的非相干系數(shù)提出了新的重構(gòu)定理，本文所提的重構(gòu)定理只需一個(gè)參量，參量的意義直觀且更易判定取值，有效促進(jìn)了矩陣填充的研究。
　?。?）壓縮感知中有效稀疏基

4、的構(gòu)造。目前用于自然信號(hào)的稀疏基都不是非常理想，大多數(shù)的自然信號(hào)經(jīng)稀疏變換后得到的系數(shù)并不是絕對(duì)稀疏的，即除了有限個(gè)大系數(shù)外，其余的小系數(shù)并不為零，而是接近于零，這樣的系數(shù)向量稱(chēng)為近似稀疏或者可壓縮，這必然會(huì)影響壓縮感知的性能。本文在離散余弦變換（DCT）基的基礎(chǔ)上，引入了門(mén)限矩陣，構(gòu)造了基于門(mén)限矩陣的離散余弦變換基（DCTTM）。相比于DCT基，信號(hào)在DCTTM基下的系數(shù)更接近理想的絕對(duì)稀疏。
　　（3）壓縮感知自適應(yīng)觀測(cè)矩陣的

5、構(gòu)造。觀測(cè)矩陣是壓縮感知理論的一個(gè)重要內(nèi)容，觀測(cè)矩陣的性能好壞將直接影響到信號(hào)的壓縮與重構(gòu)。本文在高斯隨機(jī)觀測(cè)矩陣的基礎(chǔ)上，結(jié)合信號(hào)稀疏域系數(shù)的部分先驗(yàn)信息，構(gòu)造了自適應(yīng)觀測(cè)矩陣。同時(shí)，通過(guò)減少觀測(cè)矩陣的行向量來(lái)減少觀測(cè)值，本文隨后從理論和仿真實(shí)驗(yàn)兩方面驗(yàn)證了自適應(yīng)觀測(cè)矩陣的重構(gòu)性能要優(yōu)于高斯隨機(jī)觀測(cè)矩陣的重構(gòu)性能。
　?。?）矩陣填充中基于軟閾值的投影梯度下降重構(gòu)算法。目前矩陣填充的重構(gòu)算法都有一個(gè)共同的缺陷，需要已知原始矩陣的

6、秩，而原始矩陣的秩與壓縮感知中原始信號(hào)的稀疏度類(lèi)似，往往不能提前預(yù)知，這對(duì)矩陣填充的實(shí)際應(yīng)用造成了很大的局限性。本文提出的基于軟閾值的投影梯度下降（STPGD）算法運(yùn)用投影梯度下降的方式進(jìn)行迭代，并采用軟閾值對(duì)每次迭代產(chǎn)生的矩陣進(jìn)行秩估計(jì)，不僅可以降低算法的計(jì)算復(fù)雜度，而且能夠提高算法重構(gòu)的精確度。文中從算法的收斂性和復(fù)雜度兩個(gè)方面對(duì)STPGD算法的重構(gòu)性能進(jìn)行了較為詳細(xì)地分析，并從理論上論證了達(dá)到預(yù)定的重構(gòu)誤差時(shí)STPGD算法所需的迭