壓縮感知和矩陣填充及其在信號處理中應用的研究.pdf

1、壓縮感知和矩陣填充都是稀疏約束下的反問題，壓縮感知利用信號本身或在變換域中的稀疏約束性求解欠定方程，矩陣填充利用矩陣的低秩約束性求解欠定方程。壓縮感知理論的核心問題是信號的稀疏表示、觀測矩陣的設計和重構算法，信號本身或在變換域中的系數(shù)越稀疏，觀測矩陣和稀疏基構成的壓縮感知矩陣的受限等距常數(shù)越小，則壓縮感知的性能越好。矩陣填充理論的核心問題是矩陣的低秩特性、非相干特性和重構算法，尋找性能良好的重構算法一直是矩陣填充理論中的一個研究重點。此

2、外，壓縮感知的應用領域已經(jīng)拓展得較為廣泛，但矩陣填充的應用尚處于起步階段，挖掘矩陣填充的應用，進而將矩陣填充和壓縮感知結合起來進行應用方面的探索，是非常重要和有意義的課題。本文的主要工作和創(chuàng)新如下：
　　（1）研究壓縮感知和矩陣填充的重構算法，改進矩陣填充的重構定理。重構算法是壓縮感知和矩陣填充的重要組成部分，重構算法的優(yōu)劣直接影響壓縮感知和矩陣填充的性能。本文首先分析了壓縮感知中的BP算法、OMP算法、CoSaMP算法、SP算法

3、和IHT算法，矩陣填充中的SVT算法、ADMiRA算法和SVP算法。實驗表明，壓縮感知中的BP算法和矩陣填充中SVP算法的重構性能明顯優(yōu)于其它幾種重構算法。本文其次分析了矩陣填充的重構定理，指出定理需要兩個參量，參量的數(shù)目較多且取值不易確定。本文在原有重構定理的基礎上，結合矩陣填充的非相干系數(shù)提出了新的重構定理，本文所提的重構定理只需一個參量，參量的意義直觀且更易判定取值，有效促進了矩陣填充的研究。
　?。?）壓縮感知中有效稀疏基

4、的構造。目前用于自然信號的稀疏基都不是非常理想，大多數(shù)的自然信號經(jīng)稀疏變換后得到的系數(shù)并不是絕對稀疏的，即除了有限個大系數(shù)外，其余的小系數(shù)并不為零，而是接近于零，這樣的系數(shù)向量稱為近似稀疏或者可壓縮，這必然會影響壓縮感知的性能。本文在離散余弦變換（DCT）基的基礎上，引入了門限矩陣，構造了基于門限矩陣的離散余弦變換基（DCTTM）。相比于DCT基，信號在DCTTM基下的系數(shù)更接近理想的絕對稀疏。
　　（3）壓縮感知自適應觀測矩陣的

5、構造。觀測矩陣是壓縮感知理論的一個重要內(nèi)容，觀測矩陣的性能好壞將直接影響到信號的壓縮與重構。本文在高斯隨機觀測矩陣的基礎上，結合信號稀疏域系數(shù)的部分先驗信息，構造了自適應觀測矩陣。同時，通過減少觀測矩陣的行向量來減少觀測值，本文隨后從理論和仿真實驗兩方面驗證了自適應觀測矩陣的重構性能要優(yōu)于高斯隨機觀測矩陣的重構性能。
　?。?）矩陣填充中基于軟閾值的投影梯度下降重構算法。目前矩陣填充的重構算法都有一個共同的缺陷，需要已知原始矩陣的

6、秩，而原始矩陣的秩與壓縮感知中原始信號的稀疏度類似，往往不能提前預知，這對矩陣填充的實際應用造成了很大的局限性。本文提出的基于軟閾值的投影梯度下降（STPGD）算法運用投影梯度下降的方式進行迭代，并采用軟閾值對每次迭代產(chǎn)生的矩陣進行秩估計，不僅可以降低算法的計算復雜度，而且能夠提高算法重構的精確度。文中從算法的收斂性和復雜度兩個方面對STPGD算法的重構性能進行了較為詳細地分析，并從理論上論證了達到預定的重構誤差時STPGD算法所需的迭