稀疏表示及其在信號(hào)修復(fù)中的應(yīng)用.pdf

1、稀疏表示是近幾年發(fā)展起來的一門全新理論，其發(fā)展勢(shì)頭非常迅猛，已成為信號(hào)處理、人工智能、機(jī)器學(xué)習(xí)、大數(shù)據(jù)分析等領(lǐng)域的核心問題。稀疏表示的意義主要體現(xiàn)在兩點(diǎn)上：第一，稀疏表示提供了解欠定方程的基本方法；第二，稀疏表示可以將自然信號(hào)在某種表示域下的稀疏性以先驗(yàn)信息的形式融入諸多信號(hào)處理任務(wù)中。眾所周知，線性變換空間與矩陣空間是同構(gòu)的，而諸多信號(hào)處理任務(wù)如圖像去噪和去模糊都等價(jià)于求解欠定方程組，在傳統(tǒng)框架下，此類問題很難解決，但在稀疏表示框架下

2、則可以較為輕松的求解。關(guān)于第二點(diǎn)，在傳統(tǒng)的信號(hào)處理框架下，自然信號(hào)的先驗(yàn)信息沒有得到充分利用。自然信號(hào)的稀疏性是廣泛存在的，這意味著我們可以在很多信號(hào)處理任務(wù)中建立起更高效的方案。
　　本文主要針對(duì)稀疏表示及其在信號(hào)修復(fù)中的應(yīng)用展開。信號(hào)修復(fù)是指對(duì)受到干擾的信號(hào)進(jìn)行修復(fù)，恢復(fù)出原始信號(hào)。信號(hào)修復(fù)是信號(hào)處理中的一大難題，因?yàn)槲覀冃枰獜挠邢薜囊阎畔⒅型茢喑鰜G失或者受損信號(hào)。由于缺少全局性的先驗(yàn)信息，傳統(tǒng)的信號(hào)修復(fù)方法需要建立復(fù)雜的模

3、型，有時(shí)候不同的信號(hào)還對(duì)應(yīng)不同的模型，而且普遍比較低效。信號(hào)在表示域的稀疏性作為一種廣泛存在于各種自然信號(hào)中的先驗(yàn)信息，可以很好的代替?zhèn)鹘y(tǒng)方法，效果也遠(yuǎn)好于傳統(tǒng)方法。本文主要分為以下幾部分。
　　第一，廣泛研究了現(xiàn)存的各種稀疏表示模型，對(duì)其理論模型、可恢復(fù)性條件、測(cè)量數(shù)條件做了較為深入的研究。我們重點(diǎn)研究了稀疏向量模型，對(duì)其受不同類型噪聲干擾時(shí)的恢復(fù)誤差進(jìn)行了較為深入的研究。
　　第二，在臨近算子和不動(dòng)點(diǎn)理論的背景下，研究了

4、一類臨近迭代算法和加速臨近迭代算法。我們發(fā)現(xiàn)，臨近迭代算法可以保證單調(diào)性，而加速臨近迭代算法反而不能保證單調(diào)性，但在一些信號(hào)修復(fù)問題中我們要求算法必須單調(diào)。為了解決這個(gè)問題，我們利用Krasnosel’ski–Mann定理巧妙的構(gòu)造了單調(diào)化的加速臨近迭代算法，給出了完整的證明過程。除此之外，我們發(fā)現(xiàn)單調(diào)化的加速臨近迭代算法中的技巧——或者說策略，同樣適用于一類2014年最新出現(xiàn)的加速交替方向乘子法和加速變向法，我們給出了詳細(xì)的討論。

5、r>　　第三，將構(gòu)造出來的單調(diào)化的加速臨近迭代算法用于一維信號(hào)修復(fù)。主要考慮兩類一維信號(hào)修復(fù)任務(wù)，即含噪聲環(huán)境下的壓縮感知信號(hào)修復(fù)，以及光纖光柵反射譜信號(hào)去噪問題。光纖光柵反射譜信號(hào)去噪問題是一維信號(hào)去噪問題里比較特殊的一類問題，因?yàn)樗坏笕ピ虢Y(jié)果要有較高的信噪比，而且去噪前后的峰值不能變化太多，為了解決此問題，我們?cè)趥鹘y(tǒng)的l1范數(shù)模型上提出了利用加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)模型，對(duì)模型的有效性進(jìn)行了詳細(xì)的論證，并給出了大量的仿真結(jié)果。仿真結(jié)果表明

6、，加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)可以進(jìn)一步提高標(biāo)準(zhǔn)l1范數(shù)模型的效果，不但具有非常高的峰值信噪比，還能有效克制峰值位移，峰值位移只有10-3nm，而傳統(tǒng)的數(shù)字濾波法和小波濾波法則高達(dá)0.2nm。因此本文算法對(duì)比傳統(tǒng)算法有著巨大的潛在優(yōu)勢(shì)。
　　第四，將構(gòu)造出來的單調(diào)化的加速臨近迭代算法用于圖像修復(fù)。首先回顧了傳統(tǒng)方法，即交替方向乘子法，將其應(yīng)用于圖像去雨線問題。仿真表明，此方法還不是很穩(wěn)定。然后將單調(diào)化的加速臨近迭代算法用于圖像去噪，我們開發(fā)了一種

7、新的變量分裂方法對(duì)全變差范數(shù)進(jìn)行分裂，變量分裂后的全變差模型比較容易求解，我們將此方法用于高斯噪聲去除和去模糊。為了去除圖像中的脈沖噪聲，我們構(gòu)造了TV-l1模型。為了求解此模型，我們引入函數(shù)平滑技術(shù)，建立了TV_Moreau-l1模型，然后結(jié)合單調(diào)化的加速臨近迭代算法求解此模型。此外，我們還給出了以小波作為稀疏基的l1-l1模型，詳細(xì)地給出了算法的構(gòu)造和求解過程。第四部分是關(guān)于圖像去模糊問題，圖像去模糊問題是當(dāng)前反問題領(lǐng)域最具挑戰(zhàn)性的

8、難題，我們給出了兩種模型，對(duì)其構(gòu)造和求解過程進(jìn)行了細(xì)致的闡述，并分別與單調(diào)化的加速臨近迭代算法結(jié)合。然后是圖像修補(bǔ)問題，我們創(chuàng)造了一種多基模型用于圖像修補(bǔ)，并完整地給出了算法的構(gòu)造和求解過程。
　　第六章討論了一類圖像重建問題，即基于壓縮感知的MRI圖像重建、稀疏CT圖像重建以及圖像超分辨率重建。觀察到這三個(gè)問題在稀疏表示的理論框架下有相似的數(shù)學(xué)模型，將三個(gè)問題歸納為一個(gè)問題，然后結(jié)合單調(diào)化的加速臨近迭代算法給出了問題的解。本文方