稀疏表示及其在信號修復(fù)中的應(yīng)用.pdf

1、稀疏表示是近幾年發(fā)展起來的一門全新理論，其發(fā)展勢頭非常迅猛，已成為信號處理、人工智能、機(jī)器學(xué)習(xí)、大數(shù)據(jù)分析等領(lǐng)域的核心問題。稀疏表示的意義主要體現(xiàn)在兩點(diǎn)上：第一，稀疏表示提供了解欠定方程的基本方法；第二，稀疏表示可以將自然信號在某種表示域下的稀疏性以先驗(yàn)信息的形式融入諸多信號處理任務(wù)中。眾所周知，線性變換空間與矩陣空間是同構(gòu)的，而諸多信號處理任務(wù)如圖像去噪和去模糊都等價(jià)于求解欠定方程組，在傳統(tǒng)框架下，此類問題很難解決，但在稀疏表示框架下

2、則可以較為輕松的求解。關(guān)于第二點(diǎn)，在傳統(tǒng)的信號處理框架下，自然信號的先驗(yàn)信息沒有得到充分利用。自然信號的稀疏性是廣泛存在的，這意味著我們可以在很多信號處理任務(wù)中建立起更高效的方案。
　　本文主要針對稀疏表示及其在信號修復(fù)中的應(yīng)用展開。信號修復(fù)是指對受到干擾的信號進(jìn)行修復(fù)，恢復(fù)出原始信號。信號修復(fù)是信號處理中的一大難題，因?yàn)槲覀冃枰獜挠邢薜囊阎畔⒅型茢喑鰜G失或者受損信號。由于缺少全局性的先驗(yàn)信息，傳統(tǒng)的信號修復(fù)方法需要建立復(fù)雜的模

3、型，有時(shí)候不同的信號還對應(yīng)不同的模型，而且普遍比較低效。信號在表示域的稀疏性作為一種廣泛存在于各種自然信號中的先驗(yàn)信息，可以很好的代替?zhèn)鹘y(tǒng)方法，效果也遠(yuǎn)好于傳統(tǒng)方法。本文主要分為以下幾部分。
　　第一，廣泛研究了現(xiàn)存的各種稀疏表示模型，對其理論模型、可恢復(fù)性條件、測量數(shù)條件做了較為深入的研究。我們重點(diǎn)研究了稀疏向量模型，對其受不同類型噪聲干擾時(shí)的恢復(fù)誤差進(jìn)行了較為深入的研究。
　　第二，在臨近算子和不動點(diǎn)理論的背景下，研究了

4、一類臨近迭代算法和加速臨近迭代算法。我們發(fā)現(xiàn)，臨近迭代算法可以保證單調(diào)性，而加速臨近迭代算法反而不能保證單調(diào)性，但在一些信號修復(fù)問題中我們要求算法必須單調(diào)。為了解決這個問題，我們利用Krasnosel’ski–Mann定理巧妙的構(gòu)造了單調(diào)化的加速臨近迭代算法，給出了完整的證明過程。除此之外，我們發(fā)現(xiàn)單調(diào)化的加速臨近迭代算法中的技巧——或者說策略，同樣適用于一類2014年最新出現(xiàn)的加速交替方向乘子法和加速變向法，我們給出了詳細(xì)的討論。

5、r>　　第三，將構(gòu)造出來的單調(diào)化的加速臨近迭代算法用于一維信號修復(fù)。主要考慮兩類一維信號修復(fù)任務(wù)，即含噪聲環(huán)境下的壓縮感知信號修復(fù)，以及光纖光柵反射譜信號去噪問題。光纖光柵反射譜信號去噪問題是一維信號去噪問題里比較特殊的一類問題，因?yàn)樗坏笕ピ虢Y(jié)果要有較高的信噪比，而且去噪前后的峰值不能變化太多，為了解決此問題，我們在傳統(tǒng)的l1范數(shù)模型上提出了利用加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)模型，對模型的有效性進(jìn)行了詳細(xì)的論證，并給出了大量的仿真結(jié)果。仿真結(jié)果表明

6、，加權(quán)l(xiāng)1范數(shù)可以進(jìn)一步提高標(biāo)準(zhǔn)l1范數(shù)模型的效果，不但具有非常高的峰值信噪比，還能有效克制峰值位移，峰值位移只有10-3nm，而傳統(tǒng)的數(shù)字濾波法和小波濾波法則高達(dá)0.2nm。因此本文算法對比傳統(tǒng)算法有著巨大的潛在優(yōu)勢。
　　第四，將構(gòu)造出來的單調(diào)化的加速臨近迭代算法用于圖像修復(fù)。首先回顧了傳統(tǒng)方法，即交替方向乘子法，將其應(yīng)用于圖像去雨線問題。仿真表明，此方法還不是很穩(wěn)定。然后將單調(diào)化的加速臨近迭代算法用于圖像去噪，我們開發(fā)了一種

7、新的變量分裂方法對全變差范數(shù)進(jìn)行分裂，變量分裂后的全變差模型比較容易求解，我們將此方法用于高斯噪聲去除和去模糊。為了去除圖像中的脈沖噪聲，我們構(gòu)造了TV-l1模型。為了求解此模型，我們引入函數(shù)平滑技術(shù)，建立了TV_Moreau-l1模型，然后結(jié)合單調(diào)化的加速臨近迭代算法求解此模型。此外，我們還給出了以小波作為稀疏基的l1-l1模型，詳細(xì)地給出了算法的構(gòu)造和求解過程。第四部分是關(guān)于圖像去模糊問題，圖像去模糊問題是當(dāng)前反問題領(lǐng)域最具挑戰(zhàn)性的

8、難題，我們給出了兩種模型，對其構(gòu)造和求解過程進(jìn)行了細(xì)致的闡述，并分別與單調(diào)化的加速臨近迭代算法結(jié)合。然后是圖像修補(bǔ)問題，我們創(chuàng)造了一種多基模型用于圖像修補(bǔ)，并完整地給出了算法的構(gòu)造和求解過程。
　　第六章討論了一類圖像重建問題，即基于壓縮感知的MRI圖像重建、稀疏CT圖像重建以及圖像超分辨率重建。觀察到這三個問題在稀疏表示的理論框架下有相似的數(shù)學(xué)模型，將三個問題歸納為一個問題，然后結(jié)合單調(diào)化的加速臨近迭代算法給出了問題的解。本文方