相關(guān)數(shù)為二的光正交碼和二維變重量光正交碼的組合構(gòu)造.pdf

1、1989年Salehi提出了一維常重量光正交碼(One-DimensionalConstant-WeightOpticalOrthogonalCode，1-DCWOOC)的概念，它作為一種簽名序列應(yīng)用于光碼分多址(OCDMA)系統(tǒng).由于一維常重量光正交碼不能滿足多種服務(wù)質(zhì)量(QoS)的需求，Yang于1996年引入一維變重量光正交碼(One-DimensionalVariable-WeightOpticalOrthogonalCode，

2、1-DVWOOC)用于光碼分多址(OCDMA).在光碼分多址(OCDMA)系統(tǒng)中使用光正交碼時，不同重量的碼字具有不同的誤碼率(BEQ).因此一維變重量光正交碼能夠滿足多種服務(wù)質(zhì)量的需求.下面給出一維變重量光正交碼的定義.
　　令W={w1，w2,…，wr}為正整數(shù)集合，Λa=（λ(1)a，λ(2)a,…，λ(r)a)為正整數(shù)序列，Q=(q1，q2,…，qr)為正有理數(shù)序列.一維(v，W,Λa，λc，Q)變重量光正交碼C，或(v，

3、W,Λa，λc，Q)-OOC是一個v長的0，1序列（碼字）集，并且滿足以下三個性質(zhì):
　　(1)碼字重量分布:C中的任意一個長為v的碼所具有的漢明(Hamming)重量必須在集合W中，并且滿足qi·|C|=重量為wi的碼字個數(shù)，即qi為重量等于wi的碼字占總碼字個數(shù)的百分比，易知r∑i=1qi=1.
　　(2)周期自相關(guān)性:對于任意x=(x0，x1,…，xv-1)∈C，其漢明重量wk∈W，當(dāng)整數(shù)Τ，0＜Τ＜v時
　　v

4、-1∑i=0xixi⊕(τ)≤λ(k)a，1≤k≤r.
　　(3)周期互相關(guān)性:對于任意兩個相異的碼字x，y∈C，x=(x0，x1,…，xv-1)∈C，y=(y0，y1，…，yv-1)∈C，當(dāng)整數(shù)(τ)，0≤(τ)＜v時
　　v-1∑i=0xiyi⊕(τ)≤λc.定義中符號⊕表示對v取模運算.若λ(1)a=λ(2)a=…=λ(r)a=λ，我們將(v，W,Λa，λc，Q)-OOC記為(v，W,λ，λc，Q)-OOC，若還有λc

5、=λ則記為(v，W,λ，Q)-OOC.若Q=（a1/b，a2/b,…，ar/b）且gcd(a1，a2，…，ar)=1，則稱Q是標準的，顯然b=r∑i=1ai.若W={w}，則Q=(1).所以，常重量的(v，w，λ)-OOC是一維變重量光正交碼的特殊情形.對于一維光正交碼C，當(dāng)它的碼字個數(shù)達到最大值，則稱其為最優(yōu)的.
　　隨著社會的高速發(fā)展，人們需要高速率、大容量、不同誤碼率的光碼分多址(OCDMA)系統(tǒng)，Yang于2001年提出了

6、二維常重量光正交碼(Two-DimensionalConstant-WeightOpticalOrthogonalCode，2-DCWOOC)，它具有較大的碼字容量，但類似于一維常重量光正交碼，它也只能滿足單一的服務(wù)質(zhì)量.為了能夠在提高碼字容量的同時提供不同的服務(wù)質(zhì)量，二維變重量光正交碼(Two-DimensionalVariable-WeightOpticalOrthogonalCode，2-DVWOOC)被引入，下面給出二維變重量光

7、正交碼的定義.
　　二維（u×v，W,Λa，λc，Q）變重量光正交碼C，或(u×v，W,Λa，λc，Q)-OOC是一個u×v的0，1矩陣（碼字）集，并且滿足一下三個性質(zhì):
　　(1)碼字重量分布:C中的碼所具有的漢明重量均在集合W中，且C恰有qi·|C|個重量為wi的碼字，1≤i≤r，即qi為重量等于wi的碼字占總碼字個數(shù)的百分比，因而r∑i=1qi=1.
　　(2)周期自相關(guān)性:對任意矩陣X∈C，其漢明重量wk∈W，

8、當(dāng)整數(shù)(τ)，0＜(τ)≤v-1時有
　　X=（x0，0x0，1…x0，v-1x1，0x1，1…x1，v-1…………xu-1,0xu-1,1…xu-1,v-1），u-1∑i=0v-1∑j=0xi，jxi，j⊕(τ)≤λ(k)a，1≤k≤r.
　　(3)周期互相關(guān)性:對任意兩個不同矩陣X，Y∈C，當(dāng)整數(shù)(τ)，0≤(τ)≤v-1時有
　　X=(x0，0x0，1…x0，v-1x1，0x1，1…x1，v-1…………xu-1，

9、0xu-1，1…xu-1，v-1),Y=(y0,0y0,1…y0,v-1y1,0y1,1…y1,v-1…………yu-1,0yu-1,1…yu-1,v-1),u-1∑i=0v-1∑j=0xi，jyi，j⊕(τ)≤λc.定義中符號符號⊕表示對v取模運算.若λ(1)a=λ(2)a=…=λ(r）a=λc=λ，我們將(u×v，W,Λa，λc，Q)-OOC記為(u×v，W,λ，Q)-OOC.若W={w}，則Q=(1).所以，常重量的(u×v，w，λ

10、)-OOC是二維變重量光正交碼的特殊情形.對于二維光正交碼C，當(dāng)它的碼字個數(shù)達到最大值，則稱其為最優(yōu)的.
　　最優(yōu)(v，W,1，Q)-OOC和最優(yōu)(u×v，k，1，Q)-OOC已有許多研究成果，而就作者目前所知，最優(yōu)(v，W,2，Q)-OOC和最優(yōu)(u×v，W,1，Q)-OOC的研究僅有少數(shù)結(jié)果.
　　本文運用嚴格循環(huán)填充，旋轉(zhuǎn)斯坦納四元系，嚴格循環(huán)平衡設(shè)計，GQS(GoodQuadrupleSystem)，二次剩余，平衡不

11、完全區(qū)組設(shè)計和可分組設(shè)計，得到以下結(jié)果:
　　定理1.1若Q=（a1/b，…，ar/b）是標準的，則
　　Φ（v，W,λ，Q）≤b(|)(v-1)…(v-λ)/r∑i=1aiwi(wi-1)…(wi-λ)」其中Φ(v，W,λ，Q)=max{|C|:C是(v，W,λ，Q)-OOC}.
　　定理1.2設(shè)v≡1(mod6)為正整數(shù)，h為整數(shù)，且存在RoSQS(v+1)，則
　　(1)存在最優(yōu)(v，{3，4}，2，（4/

12、v+1，v-3/v+1）)-OOC;
　　(2)存在最優(yōu)(v，{3，4}，2，（4(v-1)+96h/(v+1)(v-1)+72h,(v-1)(v-3)-24h/(v+1)(v-1)+72h))-OOC，1≤h＜(v-1)(v-3)/24.
　　定理1.3設(shè)p=12t+7為質(zhì)數(shù)，h，t為整數(shù)，則
　　(1)存在最優(yōu)(p，{3，4}，2，（1/3t+2，3t+1/3t+2）)-OOC;
　　(2)存在最優(yōu)(p，{3

13、，4}，2，（2t+4h+1/(3t+2)(2t+1)+3h,(3t+1)(2t+1)-h/(3t+2)(2t+1)+3h）)-OOC，1≤h＜(2t+1)(3t+1).
　　定理1.4設(shè)p≡7，31(mod60)為質(zhì)數(shù)，則存在最優(yōu)(p，{3，4}，2，(1/2，1/2)）-OOC.
　　定理1.5設(shè)n≥3為奇數(shù)，h為整數(shù)，則
　　(1)存在最優(yōu)（2n-1，{3，4}，2，（1/2n-2，2n-2-1/2n-2）)-O

14、OC;
　　(2)存在最優(yōu)(2n-1，{3，4}，2，（2n-1-1+12h/2n-2(2n-1-1)+9h，(2n-1-1)(2n-2-1)-3h/2n-2(2n-1-1)+9h）)-OOC，1≤h＜(2n-1-1)(2n2-1)/3.
　　定理1.6設(shè)v≡1(mod6)為正整數(shù)，h為整數(shù)，且存在RoSQS(v+1)，則
　　(1)存在最優(yōu)(2v，{3，4}，2，（10/v+7，v-3/v+7）)-OOC;
　

15、　(2)存在最優(yōu)(2v，{3，4}，2，（10(v-1)+24h/(v+7)(v-1)+18h，(v-1)(v-3)-6h/(v+7)(v-1)+18h）)-OOC，1≤h＜(v-1)(v-3)/6.
　　定理1.7設(shè)p=12t+7為質(zhì)數(shù)，h，t為整數(shù)，則
　　(1)存在最優(yōu)(2p，[3，4}，2，(10/p+7，p-3/p+7))-OOC;
　　(2)存在最優(yōu)(2p，{3，4}，2，(10(p-1)+24h/(p+7

16、)(p-1)+18h，(p-1)(p-3)-6h/(p+7)(p-1)+18h))-OOC，1≤h＜(p-1)(p-3)/6.
　　定理1.8設(shè)p≡31，43(mod60)為質(zhì)數(shù)，則存在最優(yōu)(2p，{3，4}，2，(1/2，1/2)）-OOC.
　　定理1.9設(shè)n≥3為奇數(shù)，h為整數(shù)，則
　　(1)存在最優(yōu)(2n+1-2，{3，4}，2，(5/2n-1+3，2n-1-2/2n-1+3)）-OOC;
　　(2)存在

17、最優(yōu)(2n+1-2，{3，4}，2，（10(2n-1-1)+12h/(2n+6)(2n-1-1)+9h，(2n-1-1)(2n-4)-3h/(2n+6)(2n-1-1)+9h））-OOC，1≤h＜（2n-1-1）（2n-4）/3.
　　定理1.10設(shè)v為正整數(shù)且v的每個質(zhì)因子模4余1，則存在最優(yōu)(4×v，{3，5}，1，(2/3，1/3)）-OOC.
　　定理1.11設(shè)v為正整數(shù)且v的每個質(zhì)因子模4余1，則存在最優(yōu)(4×v，

18、{3，4，5},1，(2/5，1/5，2/5)）-OOC.
　　定理1.12設(shè)v為正整數(shù)且v的每個質(zhì)因子模4余3，則存在最優(yōu)(5×v，{3，5}，1,(5/6，1/6)）-OOC.
　　定理1.13若存在g-正則2-SCP(k，1;v)，(W,1，Q)-GDD(uk)和最優(yōu)2-SCP(W.1，Q;u×g)，則存在最優(yōu)(u×v，W,1，Q)-OOC.
　　定理1.14設(shè)v≡6(mod12)為正整數(shù)，則存在最優(yōu)(3×v，{

19、3，4}，1，(4/5，1/5)）-OOC.
　　定理1.15若存在g-正則2-SCP(W,1，Q;v)，(v，k，1)-BIBD和最優(yōu)2-SCP(W,1，Q;u×g)，且對于(∨)wi∈W，均有(wi，1)-MGDD(wki)存在，則存在最優(yōu)(u×v，W,1，Q)-OOC.
　　定理1.16設(shè)q≡1(mod36)為質(zhì)數(shù)冪，v為正整數(shù)且v的每個質(zhì)因子模18余1，則存在最優(yōu)(q×v，{3，4}，1，(1/2，1/2)）-OOC